Μέθοδος των τριών

Η μέθοδος των τριών χρησιμοποιείται σε απλούς υπολογισμούς με ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Συνήθως ξέρουμε τρία μεγέθη που εξαρτώνται το ένα από το άλλο και πρέπει να υπολογίσουμε το τέταρτο. Στη μέθοδο των τριών πρέπει να ξεχωρίζουμε προσεκτικά τα ανάλογα από τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, γιατί οι υπολογισμοί τους διαφέρουν.

Κίνητρο

Πας στο μαγαζί να αγοράσεις προμήθειες λεμονάδας. Με 4 € αγόρασες 5 μπουκάλια λεμονάδα. Πόσες λεμονάδες θα αγόραζες, αν είχες 8 €; Αυτό είναι ένα τυπικό παράδειγμα που λύνεται με τη μέθοδο των τριών.

Αυτή τη στιγμή μπορούμε να κάνουμε έναν απλό συλλογισμό – στην πρώτη περίπτωση είχαμε στη διάθεσή μας 4 €, στη δεύτερη 8 €. Μπορούμε λοιπόν να περιμένουμε ότι αν έχουμε στη διάθεσή μας διπλάσια χρήματα, θα αγοράσουμε διπλάσια μπουκάλια. Με 8 € θα αγοράζαμε έτσι 2 · 5 = 10 λεμονάδες.

Η προηγούμενη διαδικασία «όσο περισσότερα… τόσο περισσότερα» δεν είναι απόλυτα αυτονόητη, γιατί μπορεί να έχουμε το εξής παράδειγμα: 10 χτίστες χτίζουν ένα σπίτι σε τέσσερις μήνες. Σε πόσο καιρό θα χτίσουν το σπίτι 20 χτίστες; Αν χρησιμοποιήσουμε την προηγούμενη διαδικασία – οι χτίστες είναι διπλάσιοι, άρα οι μήνες θα είναι διπλάσιοι – θα βρούμε ότι 20 χτίστες θα έχτιζαν το σπίτι σε 2 · 4 = 8 μήνες.

Αυτή η διαδικασία φυσικά δεν είναι σωστή, γιατί όσο περισσότεροι χτίστες, τόσο λιγότερους μήνες θα χρειαστούν για να χτίσουν το σπίτι. Πρέπει λοιπόν να προχωρήσουμε αντίστροφα: διπλάσιοι χτίστες θα χτίσουν το σπίτι στους μισούς μήνες. Έτσι παίρνουμε το σωστό αποτέλεσμα: 20 χτίστες θα χτίσουν το σπίτι σε 4/2 = 2 μήνες.

Οι δύο προηγούμενες διαδικασίες έχουν και τα ονόματά τους: ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά.

Ανάλογα ποσά

Αν ισχύει «όσο περισσότερα… τόσο περισσότερα», τα ποσά είναι ανάλογα. Παραδείγματα:

• Όσο περισσότερα χρήματα έχουμε, τόσο περισσότερες λεμονάδες/αγγούρια/πατίνια μπορούμε να αγοράσουμε.
• Όσο περισσότερα άρθρα γράψει ένας δημοσιογράφος, τόσο περισσότερα χρήματα θα κερδίσει.
• Όσο περισσότεροι εργάτες σκάβουν, τόσο περισσότερα θα σκάψουν.
• Όσο περισσότερη ώρα αφήνουμε την αντλία να αντλεί, τόσο περισσότερο νερό θα αντλήσουμε.

Παράδειγμα: Ένα αυτοκίνητο καταναλώνει 6 λίτρα βενζίνης στα 100 χιλιόμετρα. Πόσα λίτρα βενζίνης θα καταναλώσει αφού διανύσει 250 χιλιόμετρα; Αυτό είναι παράδειγμα ανάλογων ποσών, επειδή ισχύει ότι όσο περισσότερο διανύει το αυτοκίνητο, τόσο περισσότερη βενζίνη καταναλώνει.

Διαδικασία: Πρώτα γράφουμε όσα γνωρίζουμε. Για αυτό χρησιμοποιούμε τον παρακάτω πίνακα, που μας δείχνει καθαρά τι γνωρίζουμε και τι θέλουμε να υπολογίσουμε:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ λίτρα}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ λίτρα}\end{array}$$

Στην πρώτη γραμμή έχουμε γραμμένα τα στοιχεία που γνωρίζουμε πλήρως. Στη δεύτερη γραμμή έχουμε στη δεξιά πλευρά το στοιχείο που δεν γνωρίζουμε και στην αριστερή πλευρά το στοιχείο για το οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε τον άγνωστο. Στις στήλες πρέπει πάντα να υπάρχουν τα ίδια στοιχεία, σε αυτή την περίπτωση στη στήλη πρέπει να υπάρχουν είτε πάντα χιλιόμετρα είτε πάντα λίτρα.

Υπάρχει ένα τέχνασμα που θα σε βοηθήσει να υπολογίσεις αυτό το παράδειγμα. Πρώτα σχεδίασε δεξιά ένα βέλος από κάτω προς τα πάνω, ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ λίτρα}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ λίτρα}\uparrow \end{array}$$

Αν τα ποσά είναι ανάλογα, τότε αριστερά σχεδιάζουμε το ίδιο βέλος, από κάτω προς τα πάνω:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ λίτρα}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ λίτρα}\uparrow \end{array}$$

Στο επόμενο βήμα σχηματίζουμε κλάσματα από τις στήλες, ακολουθώντας τη φορά των βελών. Ο αριθμητής αντιστοιχεί στον αριθμό από τον οποίο ξεκινά το βέλος και ο παρονομαστής στον αριθμό στον οποίο καταλήγει το βέλος. Αυτά τα κλάσματα τα εξισώνουμε. Από την πρώτη στήλη (χιλιόμετρα) παίρνουμε έτσι το κλάσμα $\frac{250}{100}$ και από τη δεύτερη (λίτρα) το κλάσμα $\frac{x}{6}$. Γραμμένο ως εξίσωση:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Αυτή είναι μια συνηθισμένη εξίσωση πρώτου βαθμού, που μπορούμε να τη λύσουμε με ισοδύναμες μετατροπές. Πολλαπλασιάζουμε ολόκληρη την εξίσωση με το έξι, ώστε να απαλλαγούμε από το κλάσμα στο δεύτερο μέλος:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Τώρα απομένει μόνο να υπολογίσουμε το x:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Το αποτέλεσμα είναι ότι το αυτοκίνητο αφού διανύσει 250 χιλιόμετρα θα καταναλώσει 15 λίτρα βενζίνης.

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

Αν ισχύει «όσο περισσότερα … τόσο λιγότερα», τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Παράδειγμα:

• Όσο περισσότεροι άνθρωποι μοιράζονται μια πίτσα, τόσο μικρότερο κομμάτι παίρνει ο καθένας.
• Όσο πιο γρήγορο ίντερνετ έχουμε, τόσο νωρίτερα θα κατεβάσουμε μια ταινία.
• Όσο πιο γρήγορα οδηγούμε, τόσο νωρίτερα θα φτάσουμε στον προορισμό.
• Όσο περισσότεροι εργάτες δουλεύουν σε ένα σπίτι, τόσο νωρίτερα θα χτιστεί το σπίτι.

Παράδειγμα: Στον υπολογιστή σου έχεις ίντερνετ με ταχύτητα 2 MB το δευτερόλεπτο και κατέβασες την ηχογράφηση μιας συναυλίας σε 450 δευτερόλεπτα. Σε πόσο χρόνο θα κατέβαζες την ίδια συναυλία, αν είχες ίντερνετ με ταχύτητα 6 MB το δευτερόλεπτο;

Η διαδικασία θα είναι ίδια με τα ανάλογα ποσά – γράφουμε τα στοιχεία σε έναν καθαρό πίνακα:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ δευτερόλεπτα}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ δευτερόλεπτα}\end{array}$$

Τώρα τα βέλη. Το δεξί βέλος θα είναι πάλι από κάτω προς τα πάνω, εδώ τίποτα δεν αλλάζει. Επειδή όμως τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, το αριστερό βέλος θα πάει προς την αντίθετη κατεύθυνση, από πάνω προς τα κάτω.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ δευτερόλεπτα}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ δευτερόλεπτα}\uparrow \end{array}$$

Η συνέχεια είναι ίδια – σχηματίζουμε από αυτόν τον πίνακα κλάσματα, πάλι ακολουθώντας τη φορά των βελών. Παίρνουμε έτσι τα κλάσματα $\frac{2}{6}$ και $\frac{x}{450}$, που τα εξισώνουμε:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με το 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Και υπολογίζουμε το x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Τη συναυλία με την ταχύτερη σύνδεση θα την κατεβάσουμε σε 150 δευτερόλεπτα.

Πρόσεξε ότι η διαδικασία συμφωνεί με τη διαίσθηση. Στο τελευταίο βήμα διαιρούμε το 450 με το τρία, κάτι που το περιμέναμε. Η αύξηση της ταχύτητας από 2 MB/s σε 6 MB/s είναι τριπλάσια, έχουμε τρεις φορές μεγαλύτερη ταχύτητα. Γι' αυτό θα περιμέναμε ο χρόνος που χρειάζεται για να κατεβάσουμε την ταινία να είναι τρεις φορές μικρότερος → και ακριβώς αυτό εκφράζει το κλάσμα $\frac{450}{3}$.

Παραδείγματα

Πρώτο παράδειγμα: Ένα δωμάτιο σε ένα πολυτελές ξενοδοχείο κοστίζει για εφτά νύχτες τετρακόσια είκοσι ευρώ. Πόσο θα μας κοστίσει το ίδιο δωμάτιο, αν θέλαμε να πάμε για δώδεκα μέρες;

Πρώτα γράφουμε τα στοιχεία σε έναν πίνακα:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ ημέρες}& \dots & 420\text{ €}\\ 12\text{ ημέρες}& \dots & x\text{ €}\end{array}$$

Τώρα πρέπει να αποφασίσουμε αν τα ποσά είναι ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα. Ισχύει ότι όσο περισσότερο μένουμε εκεί, τόσο λιγότερο πληρώνουμε; Δεν ισχύει, ισχύει το αντίθετο – όσο περισσότερο μένουμε εκεί, τόσο περισσότερο πληρώνουμε. Τα ποσά είναι λοιπόν ανάλογα. Συμπληρώνουμε τα βέλη:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ ημέρες}& \dots & 420\text{ €}\\ \uparrow 12\text{ ημέρες}& \dots & x\text{ €}\uparrow \end{array}$$

Με τη βοήθεια των βελών σχηματίζουμε τα κλάσματα:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{420}$$

Υπολογίζουμε την εξίσωση:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{420}\\ 420\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 420\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{420\cdot 12}{7}\\ x& =& 720\end{array}$$

Το δωμάτιο για 12 ημέρες θα μας κόστιζε 720 €.

Δεύτερο παράδειγμα: 10 εργάτες μαζεύουν φράουλες και σε μια μέρα μαζεύουν 50 κιλά. Πόσα κιλά φράουλες θα μαζέψουν σε μια μέρα 7 εργάτες;

Γράφουμε τα στοιχεία σε έναν πίνακα:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ εργ.}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ εργ.}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Τα ποσά είναι ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα; Σε αυτό το παράδειγμα υπάρχει μια μικρή παγίδα, γιατί σε αντίθεση με τα προηγούμενα παραδείγματα, στη γραμμή με τον άγνωστο έχουμε μικρότερο πλήθος εργατών από την πρώτη γραμμή. Μην το αφήσεις να σε μπερδέψει, τα ποσά είναι και πάλι ανάλογα, επειδή ισχύει ότι όσο περισσότεροι εργάτες, τόσο περισσότερες φράουλες μαζεύονται. Ή αντίστροφα – όσο λιγότεροι εργάτες, τόσο λιγότερες φράουλες. Και αυτό σημαίνει ανάλογα ποσά. Έτσι και τα δύο βέλη θα είναι από κάτω προς τα πάνω.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ εργ.}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ εργ.}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Σχηματίζουμε τα κλάσματα:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

και υπολογίζουμε το x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Εφτά εργάτες θα μαζέψουν σε μια μέρα 35 κιλά φράουλες.

Τρίτο παράδειγμα: Το μέσο μήκος του βήματος του Γιωργάκη είναι 80 cm. Στον δρόμο από το σχολείο για το σπίτι μέτρησε ότι έκανε 1300 βήματα. Πόσα βήματα θα έκανε, αν το καθένα ήταν ακριβώς ένα μέτρο;

Πρώτα ο πίνακας. Πρόσεξε ότι στην εκφώνηση έχουμε 80 cm και ένα μέτρο. Στον πίνακα όμως χρειαζόμαστε στοιχεία στην ίδια μονάδα, οπότε αντί για ένα μέτρο χρησιμοποιούμε 100 cm – θα μπορούσαμε να επιλέξουμε και την αντίθετη διαδικασία και να γράψουμε 1 μέτρο και 0,8 μέτρα.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ βήματα}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ βήματα}\end{array}$$

Και τι είδους ποσά είναι; Ισχύει ότι όσο μεγαλύτερο είναι το βήμα μας, τόσο λιγότερα βήματα χρειαζόμαστε για να καλύψουμε μια ορισμένη απόσταση, τα ποσά είναι λοιπόν αντιστρόφως ανάλογα. Το αριστερό βέλος θα είναι από πάνω προς τα κάτω, το δεξί βέλος από κάτω προς τα πάνω.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ βήματα}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ βήματα}\uparrow \end{array}$$

Τα κλάσματα θα μοιάζουν ως εξής:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Απομονώνουμε και υπολογίζουμε το x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Ο Γιωργάκης για την ίδια απόσταση θα χρειαζόταν μόνο 1040 βήματα.

Τύποι

Όπως φαίνεται από τους προηγούμενους υπολογισμούς, οι διαδικασίες είναι πάντα ίδιες και οδηγούν σε απλούς τύπους. Πρώτα γράφουμε τον πίνακα συμβολικά:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Τότε ισχύουν οι εξής τύποι. Για ανάλογα ποσά:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Και για αντιστρόφως ανάλογα ποσά:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$