Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων

Με ένα κλάσμα μπορούμε να γράψουμε οποιονδήποτε ρητό αριθμό. Το κλάσμα αποτελείται από δύο μέρη. Το πάνω μέρος ονομάζεται αριθμητής και το κάτω παρονομαστής. Υπάρχει και σύνθετο κλάσμα, που δεν είναι τίποτα άλλο από ένα κλάσμα με άλλο κλάσμα στον αριθμητή ή στον παρονομαστή. Και, παρεμπιπτόντως, όλα τα σύμβολα ανάμεσα στα κλάσματα (συν, πλην, ίσον κτλ.) γράφονται πάντα στο ύψος της κλασματικής γραμμής, όχι στο ύψος του αριθμητή ούτε του παρονομαστή. Και τέλος, το ξέρεις ότι πέντε στους τέσσερις ανθρώπους δυσκολεύονται με τα κλάσματα;

Βασικές πληροφορίες

Το κλάσμα έχει την εξής μορφή:

$$\frac{\text{αριθμητής}}{\text{παρονομαστής}}$$

Παράδειγμα κλάσματος είναι το

$$\frac{2}{5},$$

δηλαδή δύο πέμπτα. Ο παρονομαστής λέγεται έτσι επειδή ονομάζει το κλάσμα. Πέμπτο, τρίτο, έκτο… αυτό είναι το βασικό όνομα του κλάσματος και προέρχεται από τον αριθμό που βρίσκεται κάτω από την κλασματική γραμμή. Ο αριθμητής, αντίθετα, δείχνει το πλήθος – στο προηγούμενο παράδειγμα ήταν δύο πέμπτα. Τόσα για τα ονόματα.

Στον αριθμητή και στον παρονομαστή μπορεί ουσιαστικά να βρίσκεται οποιοσδήποτε αριθμός ή πάλι κάποιο κλάσμα, αλλά τις περισσότερες φορές συναντάμε κλάσμα όπου και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι φυσικοί αριθμοί.

Το κλάσμα είναι απλώς μια άλλη γραφή της διαίρεσης και την τιμή του κλάσματος τη βρίσκουμε διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Άρα, αν έχουμε ένα κλάσμα $\frac{a}{b}$, τότε η τιμή του κλάσματος είναι ο αριθμός a/b. Το προηγούμενο κλάσμα (δύο πέμπτα) θα είχε λοιπόν τιμή 2/5, που είναι 0,4.

Μετατροπή σε ανάγωγο κλάσμα

Με τα κλάσματα μπορούμε να κάνουμε διάφορες πράξεις και να αλλάζουμε τη μορφή τους – να τα μετατρέπουμε σε ισοδύναμα κλάσματα με πολλαπλασιασμό των όρων τους και να τα απλοποιούμε –, χωρίς να αλλάζει η τιμή τους. Μπορούμε εύκολα να το φανταστούμε και με λόγια: για παράδειγμα, το ένα δεύτερο έχει την ίδια τιμή με τα δύο τέταρτα ή τα τέσσερα όγδοα. Αυτό προκύπτει από το ότι το κλάσμα είναι απλώς μια διαίρεση με άλλη μορφή. Και στον αριθμό ένα δεύτερο μπορούμε να φτάσουμε με διαίρεση πολλών διαφορετικών αριθμών. Έτσι, το τέσσερα διά οκτώ είναι ένα δεύτερο. Το δέκα διά είκοσι είναι επίσης ένα δεύτερο. Γι' αυτό τα κλάσματα

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

έχουν την ίδια τιμή.

Όπως φαίνεται, στα άλλα κλάσματα με την ίδια τιμή φτάσαμε πολλαπλασιάζοντας με το δύο και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος 1/2. Μετά τον πολλαπλασιασμό βγήκε το κλάσμα 2/4, δύο τέταρτα. Αν και σε αυτό το κλάσμα πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το δύο, παίρνουμε το κλάσμα 4/8, τέσσερα όγδοα. Αυτό που κάναμε εδώ ήταν μετατροπή σε ισοδύναμο κλάσμα με πολλαπλασιασμό των όρων.

Η αντίστροφη πράξη είναι η απλοποίηση κλασμάτων, όπου διαιρούμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα, πρέπει να βρούμε έναν αριθμό από τον οποίο διαιρούνται ακριβώς και ο αριθμητής και ο παρονομαστής. Η απλοποίηση κλασμάτων χρησιμοποιείται στην πράξη πολύ συχνά, γιατί με την απλοποίηση το κλάσμα γίνεται πολύ πιο απλό και δουλεύουμε πιο εύκολα μαζί του. Αν είχαμε το κλάσμα 12/18, με μια ματιά βλέπουμε ότι και οι δύο αριθμοί είναι άρτιοι, άρα διαιρούνται με το δύο. Φυσικά θα μπορούσαμε να απλοποιήσουμε το κλάσμα με το δύο, αλλά με μια δεύτερη ματιά βλέπουμε ότι και ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται και με το έξι. Αν απλοποιήσουμε το κλάσμα με το έξι, προκύπτει απλούστερο κλάσμα απ' ό,τι αν το απλοποιούσαμε μόνο με το δύο. Γι' αυτό απλοποιούμε το κλάσμα με το έξι. Βγαίνει το κλάσμα 2/3.

Αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιηθεί περισσότερο· δεν υπάρχει αριθμός (μεγαλύτερος από το ένα) με τον οποίο να διαιρούνται ακριβώς και ο αριθμητής και ο παρονομαστής. Για ένα κλάσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί περισσότερο λέμε ότι είναι ανάγωγο. Προσπάθησε να δουλεύεις πάντα με ανάγωγα κλάσματα και, όταν δουλεύεις με κλάσματα, κοίτα πρώτα αν κάποια από αυτά απλοποιούνται. Θα γλιτώσεις χρόνο. Ακόμα ένα παράδειγμα:

$$\frac{24}{42}$$

Από ποιον αριθμό διαιρούνται ταυτόχρονα το 24 και το 42; Είναι και τα δύο άρτιοι, άρα σίγουρα από το δύο. Διαιρούμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το δύο:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Υπάρχει κάποιος αριθμός που διαιρεί ταυτόχρονα και τους δύο; Ναι, αυτή τη φορά το τρία.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Υπάρχει ακόμα κάποιος αριθμός που να διαιρεί τον αριθμητή και τον παρονομαστή; Δεν υπάρχει, το κλάσμα είναι ανάγωγο.

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Ίσως εκπλαγείς, αλλά ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση στα κλάσματα είναι πιο εύκολοι από την πρόσθεση και την αφαίρεση. Αν πρέπει να πολλαπλασιάσεις δύο κλάσματα, απλώς πολλαπλασιάζεις τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή. Αυτά είναι όλα. Παράδειγμα πολλαπλασιασμού κλασμάτων:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Στον πολλαπλασιασμό κλασμάτων υπάρχει επιπλέον ένας ακόμα τρόπος απλοποίησης. Δεν χρειάζεται να απλοποιείς μόνο μέσα σε ένα κλάσμα, μπορείς να απλοποιείς και χιαστί. Αν μπορεί να απλοποιηθεί ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου, μπορείς να το κάνεις και να απλοποιήσεις τον πολλαπλασιασμό. Παράδειγμα (οι αριθμοί που απλοποιούνται είναι επισημασμένοι):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Τι κάναμε; Διαιρέσαμε και το τέσσερα και το οκτώ με το τέσσερα. Η τιμή του γινομένου έμεινε αμετάβλητη. Αν δεν το απλοποιούσαμε τώρα, θα μπορούσαμε να το απλοποιήσουμε μετά τον πολλαπλασιασμό.

Τον πολλαπλασιασμό κλάσματος με ακέραιο αριθμό τον μετατρέπεις απλά σε πολλαπλασιασμό δύο κλασμάτων, γράφοντας τον ακέραιο αριθμό c ως c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Όπως φαίνεται, όταν πολλαπλασιάζεις ένα κλάσμα με ακέραιο αριθμό, αρκεί να πολλαπλασιάσεις με αυτόν τον αριθμό τον αριθμητή του κλάσματος.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Διαίρεση κλασμάτων

Η διαίρεση κλασμάτων είναι στην πράξη ίδια με τον πολλαπλασιασμό. Αν θέλεις να διαιρέσεις ένα κλάσμα με ένα άλλο, αντιστρέφεις το δεύτερο κλάσμα (τον διαιρέτη) και πολλαπλασιάζεις κανονικά τα κλάσματα. Ένα απλό παράδειγμα διαίρεσης κλασμάτων (πρόσεξε ότι μετά την αντιστροφή του κλάσματος μπορούμε να απλοποιήσουμε το 12 και το 6):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Μετατρέψαμε τη διαίρεση σε πολλαπλασιασμό: αντιστρέψαμε το κλάσμα $\frac{6}{11}$ στο κλάσμα $\frac{11}{6}$ και το πολλαπλασιάσαμε με το άλλο, αμετάβλητο κλάσμα. Γιατί λειτουργεί έτσι; Αρκεί να το φανταστούμε σε ένα πιο απλό παράδειγμα, για παράδειγμα τη διαίρεση με το ένα δεύτερο. Αν διαιρούμε

$$\frac{10}{1/2}=?$$

τι ουσιαστικά κάνουμε; Βρίσκουμε πόσες φορές χωράει το ένα δεύτερο στο δέκα. Σε κάθε μονάδα το μισό χωράει ακριβώς δύο φορές (δύο φορές το ένα δεύτερο κάνει ένα), άρα στο δέκα χωράει είκοσι φορές. Στο ίδιο αποτέλεσμα φτάνουμε αν πολλαπλασιάσουμε δύο επί δέκα – πάλι είκοσι. Και ποια τιμή παίρνουμε αν αντιστρέψουμε το ένα δεύτερο; Δύο μονάδες, δηλαδή δύο.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Συνολικά έχουμε:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Πρόσθεση κλασμάτων

Η πρόσθεση κλασμάτων είναι λίγο πιο περίπλοκη. Τα κλάσματα μπορούμε να τα προσθέσουμε μόνο όταν έχουν την ίδια βάση, δηλαδή τον ίδιο παρονομαστή. Αν τα κλάσματα δεν έχουν τον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να τα μετατρέψουμε σε κλάσματα με κοινό παρονομαστή. Μετά προχωράμε απλά, όπως στον πολλαπλασιασμό: προσθέτουμε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου. Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό, όμως, κρατάμε τον ίδιο παρονομαστή. Πρώτα ένα παράδειγμα πρόσθεσης κλασμάτων με την ίδια βάση:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Βγάζει νόημα; Ένα δεύτερο συν πέντε δεύτερα κάνει έξι δεύτερα – αυτό βγάζει αρκετό νόημα.

Αν τα κλάσματα δεν έχουν την ίδια βάση, που είναι η πιο συχνή περίπτωση, πρέπει να τα μετατρέψουμε σε κλάσματα με την ίδια βάση, δηλαδή να πολλαπλασιάσουμε τους όρους του ενός ή και των δύο κλασμάτων έτσι ώστε να πάρουμε τον ίδιο παρονομαστή. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να προσθέσουμε αυτά τα δύο κλάσματα:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

Το πρώτο κλάσμα έχει στον παρονομαστή το τρία, το δεύτερο το δύο. Αυτή τη στιγμή δύσκολα θα τα προσθέσουμε, αλλά αν πολλαπλασιάσουμε τους όρους του πρώτου κλάσματος με το δύο, θα έχει στον παρονομαστή το έξι, και αν πολλαπλασιάσουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος με το τρία, θα έχει επίσης στον παρονομαστή το έξι. Τώρα και τα δύο κλάσματα έχουν την ίδια βάση και μπορούμε να τα προσθέσουμε εύκολα. Στο πρώτο βήμα λοιπόν μετατρέπουμε τα κλάσματα ώστε να έχουν τον ίδιο παρονομαστή:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Και τώρα απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Πρόσεξε ότι στην πρόσθεση δεν μπορούμε να απλοποιούμε ανάμεσα σε διαφορετικά κλάσματα, όπως στον πολλαπλασιασμό. Για παράδειγμα, μετά τη μετατροπή είχαμε στον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος το έξι και στον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος το δεκαπέντε. Παρ' όλα αυτά δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε με το τρία:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Αυτή την απλοποίηση θα μπορούσαμε να την κάνουμε μόνο αν τα κλάσματα τα πολλαπλασιάζαμε:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Πώς μετατρέπουμε γενικά δύο κλάσματα σε κλάσματα με κοινό παρονομαστή; Πολλαπλασιάζουμε τους όρους του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και τους όρους του δεύτερου κλάσματος με τον παρονομαστή του πρώτου. Γενικά μπορούμε να το γράψουμε έτσι:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Τους όρους του πρώτου κλάσματος τους πολλαπλασιάσαμε με την παράσταση d, που είναι ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος. Τους όρους του δεύτερου κλάσματος τους πολλαπλασιάσαμε με την παράσταση b, που είναι ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος. Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Τους όρους του πρώτου κλάσματος τους πολλαπλασιάσαμε με το οκτώ, του δεύτερου με το τέσσερα. Μετά από αυτό μπορούμε πια να προσθέσουμε τα κλάσματα.

Ο γενικός τύπος για την πρόσθεση κλασμάτων θα είχε λοιπόν την εξής μορφή:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Αφαίρεση κλασμάτων

Η αφαίρεση κλασμάτων γίνεται ακριβώς όπως η πρόσθεση κλασμάτων, μόνο που τους αριθμητές που προκύπτουν δεν τους προσθέτουμε, αλλά τους αφαιρούμε. Άρα ο προηγούμενος γενικός τύπος της πρόσθεσης γίνεται:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα· πρώτα τα μετατρέπουμε σε κλάσματα με κοινό παρονομαστή:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Και τώρα απλώς αφαιρούμε τους αριθμητές και αφήνουμε τους παρονομαστές ίδιους:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Κανόνας των χιαστί γινομένων

Στις εξισώσεις μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα των χιαστί γινομένων, που απλοποιεί την ισότητα δύο κλασμάτων. Στην πράξη δεν είναι τίποτα άλλο από δύο ισοδύναμες μετατροπές της εξίσωσης. Έστω λοιπόν μια εξίσωση με δύο κλάσματα

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Αυτή την εξίσωση μπορούμε να τη μετατρέψουμε πολλαπλασιάζοντάς την πρώτα με τον παρονομαστή του πρώτου και μετά με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Πρώτα πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος, δηλαδή με την παράσταση b. Παίρνουμε

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Μετά πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με την παράσταση d και παίρνουμε

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Στο πρώτο κλάσμα απλοποιούμε το b και στο δεύτερο το d. Το αποτέλεσμα είναι η εξίσωση

$$ad=bc.$$

Αυτό μπορούμε λοιπόν να το θεωρήσουμε τύπο: αν έχουμε μια εξίσωση με μορφή δύο κλασμάτων, μπορούμε να τη μετατρέψουμε ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Ακολουθεί ένα παράδειγμα. Στο πρώτο βήμα γράφουμε τα κλάσματα σύμφωνα με τον προηγούμενο τύπο και στο δεύτερο βήμα απλώς απλοποιούμε λίγο τις παραστάσεις και στα δύο μέλη.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Στη συνέχεια η εξίσωση θα λυνόταν ως κλασική εξίσωση δευτέρου βαθμού, αλλά αυτό ξεπερνά το αντικείμενο αυτού του άρθρου.

Σχετικά θέματα

Τα κλάσματα εμφανίζονται συχνά στην απλοποίηση παραστάσεων, με αυτό ασχολείται το άρθρο ρητές παραστάσεις. Ειδικότερα, υπάρχει και αλγόριθμος για τη διαίρεση πολυωνύμου με πολυώνυμο.