Πυθαγόρειο θεώρημα

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ίσως το πιο διάσημο μαθηματικό θεώρημα. Για τον ίδιο τον Πυθαγόρα από τη Σάμο μπορείς να διαβάσεις αλλού. Τώρα θα ασχοληθούμε με τα τρίγωνα.

Εμβαδόν τετραγώνου πάνω σε πλευρά τριγώνου

Το Πυθαγόρειο θεώρημα μας λέει μια χρήσιμη σχέση ανάμεσα στα εμβαδά των τετραγώνων που κατασκευάζουμε με τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Φαντάσου ότι έχουμε αυτό το ορθογώνιο τρίγωνο:

Ορθογώνιο τρίγωνο ABC

Το τετραγωνισμένο πλέγμα στο βάθος μας δίνει τις διαστάσεις του τριγώνου. Ισχύει ότι το μήκος της κάθετης πλευράς AC είναι 4 και το μήκος της κάθετης πλευράς BC είναι 3. Ποιο είναι όμως το μήκος της πλευράς AB, δηλαδή της υποτείνουσας του τριγώνου; Με την πρώτη ματιά δεν μπορούμε να το βρούμε. Μπορούμε όμως να προσπαθήσουμε να το υπολογίσουμε.

Πρώτα κατασκευάζουμε το τετράγωνο πάνω στην κάθετη πλευρά BC. Αυτό σημαίνει ότι κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες με το μήκος της πλευράς BC, δηλαδή τρία. Στην εικόνα θα το σχεδιάζαμε έτσι:

Σχηματίστηκε το τετράγωνο BCDE, που έχει όλες τις πλευρές του ίσες με 3. Ποιο είναι το εμβαδόν ενός τέτοιου τετραγώνου; Το εμβαδόν του τετραγώνου το υπολογίζουμε πολλαπλασιάζοντας τα μήκη δύο πλευρών του τετραγώνου, άρα το εμβαδόν του τετραγώνου BCDE είναι 3 · 3 = 9. Σχεδιάζουμε στην εικόνα το τετράγωνο πάνω στην άλλη κάθετη πλευρά, την AC. Ένα τέτοιο τετράγωνο θα έχει πλευρές μήκους 4.

Αυτό το τετράγωνο θα έχει εμβαδόν 4 · 4 = 16. Τώρα σχεδιάζουμε το τελευταίο τετράγωνο, πάνω στην υποτείνουσα AB:

Ποιο θα είναι το εμβαδόν αυτού του νέου τετραγώνου δεν το ξέρουμε ακόμα, γιατί δεν ξέρουμε το μήκος της πλευράς AB. Τώρα όμως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε με ωραίο τρόπο το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτό λέει ότι το εμβαδόν αυτού του τελευταίου τετραγώνου ABHI είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο προηγούμενων τετραγώνων. Τα πρώτα δύο τετράγωνα είχαν εμβαδά 9 και 16, άρα το τελευταίο τετράγωνο – σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα – έχει εμβαδόν 9 + 16 = 25. Το σημειώνουμε στην εικόνα:

Και τώρα μένει να απαντήσουμε στο τελευταίο ερώτημα – αν το τετράγωνο ABHI έχει εμβαδόν 25, ποιο είναι το μήκος των πλευρών αυτού του τετραγώνου; Πρέπει να είναι η τετραγωνική ρίζα του 25, άρα το μήκος της πλευράς AB είναι $\sqrt{25} = 5$ . Αν το επαληθεύσουμε και υπολογίσουμε το εμβαδόν τετραγώνου με πλευρά 5, παίρνουμε εμβαδόν 5 · 5 = 25. Και τώρα μπορούμε να περάσουμε στους αριθμούς και στους ορισμούς.

Ορισμός

Το Πυθαγόρειο θεώρημα λέει κάπως έτσι: «Το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων με πλευρές τις κάθετες πλευρές του». Με μαθηματικό συμβολισμό το θεώρημα αυτό γράφεται συνήθως έτσι

$c^{2} = a^{2} + b^{2},$

όπου a και b είναι τα μήκη των κάθετων πλευρών στο τρίγωνο και c είναι το μήκος της υποτείνουσας.

Τι λέει λοιπόν το Πυθαγόρειο θεώρημα και πώς σχετίζεται αυτός ο συμβολισμός με την προηγούμενη εικόνα; Το εμβαδόν του τετραγώνου πάνω σε μια πλευρά του τριγώνου σημαίνει ότι παίρνουμε ένα τετράγωνο που έχει μήκος πλευράς ίσο με το μήκος αυτής της πλευράς και υπολογίζουμε το εμβαδόν του. Το εμβαδόν του τετραγώνου το υπολογίζουμε πολλαπλασιάζοντας το μήκος μιας πλευράς με το μήκος της άλλης πλευράς, άρα αν η πλευρά έχει μήκος c, το εμβαδόν E είναι ίσο με: E = c · c, που με τη βοήθεια των δυνάμεων μπορούμε να το γράψουμε ως E = c².

Η σχέση c² = a² + b² διαβάζεται λοιπόν ακριβώς ως «το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά c είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων με πλευρές a και b».

Τονίζω για άλλη μία φορά ότι το θεώρημα ισχύει μόνο στο ορθογώνιο τρίγωνο, όχι σε οποιοδήποτε τρίγωνο. Το Πυθαγόρειο θεώρημα χρησιμοποιείται κλασικά όταν ξέρεις το μήκος δύο πλευρών και πρέπει να υπολογίσεις το μήκος της τρίτης. Αν λοιπόν ξέρουμε το μήκος και των δύο κάθετων πλευρών a και b και θέλουμε να βρούμε το μήκος της υποτείνουσας c, τότε υπολογίζουμε τα εμβαδά πάνω στις κάθετες πλευρές, δηλαδή υπολογίζουμε το a² + b². Έτσι παίρνουμε το εμβαδόν του τετραγώνου πάνω στην υποτείνουσα c, δηλαδή παίρνουμε το c². Για να βρούμε το μήκος της πλευράς c, αρκεί να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του εμβαδού που υπολογίσαμε. Παίρνουμε έτσι τον τύπο:

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}},$

όπου c είναι το μήκος της υποτείνουσας και a, b είναι τα μήκη των κάθετων πλευρών. Αν αντίθετα ξέρουμε το μήκος της υποτείνουσας και μιας κάθετης πλευράς και θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος της άλλης κάθετης πλευράς, θα το υπολογίσουμε με τον ίδιο τρόπο, μόνο που πρώτα θα απομονώσουμε στην εξίσωση τη μία από τις κάθετες πλευρές. Αν λοιπόν ξέρουμε τα c και b και θέλουμε να υπολογίσουμε το a, στην εξίσωση

$c^{2} = a^{2} + b^{2},$

απομονώνουμε το a² αφαιρώντας το b²:

$c^{2} - b^{2} = a^{2},$

αντιμεταθέτουμε το πρώτο και το δεύτερο μέλος:

$a^{2} = c^{2} - b^{2}$

και τέλος παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα:

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Πρώτο παράδειγμα

Έστω τρίγωνο ABC, του οποίου ξέρουμε τα μήκη δύο πλευρών: a = 3 και b = 4. Είναι το ίδιο τρίγωνο που είχαμε στην αρχή. Το ερώτημα είναι ποιο είναι το μήκος της υπόλοιπης πλευράς, της πλευράς c; Θα προσπαθήσουμε να το υπολογίσουμε με τον τύπο που δώσαμε. Το τρίγωνο το δείχνει η επόμενη εικόνα:

Τρίγωνο για την πρώτη άσκηση

Βλέπουμε ότι ξέρουμε τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών και μας λείπει το μήκος της υποτείνουσας. Γι' αυτό χρησιμοποιούμε τον πρώτο τύπο, τον αρχικό:

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Αντικαθιστούμε στις μεταβλητές a και b τα μήκη των πλευρών:

$c = \sqrt{3^{2} + 4^{2}}$

Στον τύπο έχουμε τετράγωνο αριθμού – για υπενθύμιση ισχύει η παρακάτω σχέση:

$a^{2} = a \cdot a \to 4^{2} = 4 \cdot 4 = 16$

Έτσι, αφού υπολογίσουμε τα τετράγωνα, παίρνουμε:

$\begin{array}{rcl} c & = & \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ c & = & \sqrt{9 + 16} \\ c & = & \sqrt{25} \\ c & = & 5 \end{array}$

Το αποτέλεσμα είναι ότι το μήκος της πλευράς c είναι ίσο με πέντε.

Δεύτερο παράδειγμα

Σε αυτό το παράδειγμα θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το μήκος μιας από τις κάθετες πλευρές, αν γνωρίζουμε την άλλη κάθετη πλευρά και επιπλέον το μήκος της υποτείνουσας. Έχουμε λοιπόν τρίγωνο ABC με μήκη πλευρών |AC| = 10 και |BC| = 6. Το τρίγωνο το δείχνει η επόμενη εικόνα:

Τρίγωνο για το δεύτερο παράδειγμα

Από την εικόνα βλέπουμε ότι η υποτείνουσα, δηλαδή η μεγαλύτερη πλευρά, είναι η πλευρά |AC|. Πρέπει να υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς |AB|. Αντικαθιστούμε στον δεύτερο τύπο, για τον υπολογισμό του μήκους κάθετης πλευράς:

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Για να χρησιμοποιήσουμε σωστά το Πυθαγόρειο θεώρημα, πρέπει τώρα να έχουμε στο μυαλό μας τι σημαίνει κάθε μεταβλητή. Σε αυτόν τον τύπο η μεταβλητή a είναι το μήκος της πλευράς που θέλουμε να υπολογίσουμε, στην περίπτωσή μας η πλευρά |AB|. Η μεταβλητή c είναι το μήκος της υποτείνουσας, της μεγαλύτερης πλευράς, στην περίπτωσή μας η πλευρά |AC|. Και η μεταβλητή b είναι το μήκος της κάθετης πλευράς, της οποίας το μήκος ξέρουμε, στην περίπτωσή μας η |BC|. Γι' αυτό αντικαθιστούμε στον τύπο ως εξής:

$| A B | = \sqrt{| A C |^{2} - | B C |^{2}}$

Αντικαθιστούμε τα συγκεκριμένα μήκη των πλευρών που ξέρουμε:

$| A B | = \sqrt{10^{2} - 6^{2}}$

Υπολογίζουμε τα τετράγωνα και αφαιρούμε:

$| A B | = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64}$

Και τέλος παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα:

$| A B | = 8$

Το μήκος της πλευράς |AB| είναι ίσο με οκτώ.

Πρόβλημα

Φαντάσου ότι πηγαίνεις στο σπίτι μιας φίλης σου από έναν ευθύ δρόμο. Αυτός ο δρόμος έχει μήκος 250 μέτρα. Μετά από αυτό το τέταρτο του χιλιομέτρου στρίβεις αριστερά και προχωράς άλλα 100 μέτρα και είσαι στην καλή σου φίλη. Το ερώτημα είναι πόσο πιο σύντομη θα είναι η διαδρομή, αν πας με ευθεία γραμμή μέσα από το χωράφι;

Ως πρώτο βήμα υπολογίζουμε το μήκος της διαδρομής, όταν πηγαίνεις από τον δρόμο. Θα προχωρήσεις πρώτα 250 μέτρα ευθεία και μετά 100 μέτρα αριστερά. Αυτά είναι συνολικά 250 + 100 = 350 μέτρα. Τώρα έρχεται ο υπολογισμός του μήκους της διαδρομής μέσα από το χωράφι. Για αυτό θα χρειαστούμε μια εικόνα.

Η κατεύθυνση της διαδρομής, αν πας από τον δρόμο

Ένα τετραγωνάκι της εικόνας παριστάνει 50 μέτρα. Πώς θα έμοιαζε η ευθεία διαδρομή μέσα από το χωράφι; Θα ήταν το τμήμα από το σημείο A στο σημείο C. Το σχεδιάζουμε στην εικόνα με κόκκινο χρώμα. Επισήμανση του συντομότερου δρόμου μέσα από το χωράφι

Τώρα πια βλέπουμε ότι για τον υπολογισμό του μήκους της διαδρομής μέσα από το χωράφι αρκεί να εφαρμόσουμε κατάλληλα το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ψάχνουμε το μήκος της υποτείνουσας και ξέρουμε το μήκος και των δύο κάθετων πλευρών, άρα χρησιμοποιούμε τον πρώτο τύπο και αντικαθιστούμε σε αυτόν ως εξής:

$| A C | = \sqrt{| A B |^{2} + | C B |^{2}}$

Αντικαθιστούμε τα μήκη:

$| A C | = \sqrt{250^{2} + 100^{2}}$

Υψώνουμε στο τετράγωνο:

$| A C | = \sqrt{62500 + 10000} = \sqrt{72500}$

Παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα και στρογγυλοποιούμε:

$| A C | = 269$

Το μήκος της διαδρομής μέσα από το χωράφι είναι 269 μέτρα. Το παράδειγμα δεν τελειώνει εδώ, το ερώτημα ήταν πόσο πιο σύντομη είναι η διαδρομή μέσα από το χωράφι. Αφαιρούμε λοιπόν τα μήκη, τη διαφορά τη συμβολίζουμε d:

$d = 350 - 269 = 81$

Η απάντηση είναι ότι η διαδρομή είναι πιο σύντομη κατά περίπου 81 μέτρα.

Μήκος πλευράς τετραγώνου

Ποιο είναι το μήκος της πλευράς τετραγώνου που έχει διαγώνιο μήκους δέκα; Πώς μας βοηθά σε αυτό το Πυθαγόρειο θεώρημα; Πρέπει να βρούμε μέσα στο τετράγωνο κάποιο ορθογώνιο τρίγωνο, που θα το χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό του μήκους της πλευράς του τετραγώνου. Για υπενθύμιση: το τετράγωνο έχει τέσσερις ίσες πλευρές. Ας σχεδιάσουμε την τωρινή κατάσταση:

Τετράγωνο με διαγώνιο μήκους δέκα

Βλέπουμε ότι μέσα στο τετράγωνο εμφανίστηκαν ξαφνικά δύο τρίγωνα που έχουν ορθή γωνία και που μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό του μήκους της πλευράς. Ας πάρουμε για παράδειγμα το τρίγωνο BCD. Η πλευρά DB είναι η υποτείνουσα, οι άλλες δύο είναι κάθετες πλευρές. Τα μήκη των κάθετων πλευρών δεν τα ξέρουμε, ξέρουμε όμως το μήκος της υποτείνουσας. Αυτές οι κάθετες πλευρές έχουν το ίδιο μήκος, δηλαδή |BC| = |CD|. Χρησιμοποιούμε το βασικό Πυθαγόρειο θεώρημα:

$| B D |^{2} = | B C |^{2} + | C D |^{2}$

Επειδή όμως οι κάθετες πλευρές είναι ίσες, αρκεί να υπολογίσουμε το τετράγωνο της μιας κάθετης πλευράς και να το πολλαπλασιάσουμε με το δύο – δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε το τετράγωνο και των δύο κάθετων πλευρών, γιατί είναι ίσες και θα βγει το ίδιο αποτέλεσμα. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:

$| B D |^{2} = 2 (| B C |^{2})$

Ξέρουμε το μήκος της πλευράς BD, είναι η υποτείνουσα. Το μήκος είναι ίσο με δέκα. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση:

$10^{2} = 2 (| B C |^{2})$

Υψώνουμε το δέκα στο τετράγωνο:

$100 = 2 (| B C |^{2})$

Διαιρούμε με το δύο:

$\frac{100}{2} = | B C |^{2}$

Απλοποιούμε το κλάσμα:

$50 = | B C |^{2}$

Τώρα είμαστε σχεδόν στον στόχο. Ξέρουμε ότι το τετράγωνο του μήκους της πλευράς του τετραγώνου είναι ίσο με 50. Για να βρούμε το μήκος της πλευράς, πρέπει λοιπόν να πάρουμε ακόμα την τετραγωνική ρίζα της εξίσωσης, κάτι που μπορούμε να κάνουμε, επειδή κινούμαστε στους θετικούς αριθμούς:

$\sqrt{50} = \sqrt{| B C |^{2}}$

Την τετραγωνική ρίζα του πενήντα την αφήνουμε σε αυτή τη μορφή, στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης όμως μπορούμε να διαγράψουμε την τετραγωνική ρίζα και το τετράγωνο, επειδή αλληλοαναιρούνται.

$\sqrt{50} = | B C |$

Αν θέλεις, μπορείς να υπολογίσεις και τη ρίζα του πενήντα. Στρογγυλοποιημένα θα έβγαινε επτά:

$7 = | B C |$

Ισχύει λοιπόν ότι το μήκος της πλευράς του τετραγώνου είναι περίπου επτά, ακριβώς η τετραγωνική ρίζα του πενήντα.

Αριθμομηχανή

Την υποτείνουσα τη βρίσκεις από τις δύο κάθετες πλευρές, και μία κάθετη πλευρά από την υποτείνουσα και την άλλη κάθετη πλευρά. Τις μονάδες μέτρησης μπορείς να τις αλλάξεις σε κάθε πεδίο.

Κεφάλαια: Τρίγωνο, Ύψος τριγώνου, Διάμεσος τριγώνου, Περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος, Ορθογώνιο τρίγωνο, Πώς να κατασκευάσεις τρίγωνο, Ισότητα τριγώνων, Ομοιότητα τριγώνων, Εμβαδόν τριγώνου, Πυθαγόρειο θεώρημα

« Προηγούμενο: Εμβαδόν τριγώνου

Επόμενο: Κύκλος »