Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Σε αυτό το άρθρο θα ασχοληθούμε με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Η λέξη τριγωνομετρία σημαίνει μέτρηση τριγώνων: τρίγωνο + μέτρηση. Γνωρίζουμε τέσσερις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις – το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και τη συνεφαπτομένη.

Βασικές έννοιες για το τρίγωνο

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις δουλεύουν με γωνίες στο τρίγωνο, γι' αυτό σε αυτό το μέρος θα επαναλάβουμε τις έννοιες που σχετίζονται με το τρίγωνο.

Στο σχήμα φαίνεται ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από τις κορυφές A, B και C· πρόκειται δηλαδή για το τρίγωνο ABC. Βρίσκουμε εδώ τρεις πλευρές: AB, BC, AC. Πρόσεξε ακόμη ότι αυτές οι πλευρές έχουν επιπλέον ονόματα με μικρά γράμματα. Αυτή η ονομασία έχει έναν κανόνα – απέναντι από την κορυφή A βρίσκεται η πλευρά a. Απέναντι από την κορυφή B είναι η πλευρά b και απέναντι από την κορυφή C είναι η πλευρά c. Κάθε πλευρά ονομάζεται έτσι με το όνομα της κορυφής απέναντί της, δηλαδή η πλευρά που δεν σχηματίζεται από αυτή την κορυφή.

Κάθε τρίγωνο έχει τρεις εσωτερικές γωνίες, που τις συμβολίζουμε συνήθως με τα ελληνικά γράμματα άλφα α, βήτα β και γάμμα γ. Το άθροισμα και των τριών εσωτερικών γωνιών πρέπει πάντα να δίνει 180 μοίρες. Στην κορυφή A έχουμε συνήθως τη γωνία άλφα, στη B τη βήτα και στη C τη γάμμα.

Αν και τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούμε με κάποιον τρόπο να τις χρησιμοποιήσουμε σε οποιοδήποτε τρίγωνο, συχνά δουλεύουμε μόνο με ορθογώνιο τρίγωνο. Ορθογώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που έχει μία γωνία ορθή, δηλαδή μεγέθους 90 μοιρών. Έχει για παράδειγμα την εξής μορφή:

Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει πλευρές με ειδικά ονόματα. Η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία και λέγεται υποτείνουσα (η μπλε πλευρά στο σχήμα). Οι δύο μικρότερες πλευρές λέγονται κάθετες πλευρές (οι κόκκινες πλευρές). Αυτό το τρίγωνο θα μας απασχολήσει περισσότερο σε αυτό το άρθρο.

Ονομασία των κάθετων πλευρών στο τρίγωνο

Ας περάσουμε σταδιακά στην πρώτη τριγωνομετρική συνάρτηση, στο ημίτονο. Όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μας δείχνουν τη σχέση ανάμεσα σε μια γωνία του τριγώνου και στον λόγο των μηκών δύο πλευρών. Συνήθως δεν πρόκειται για την ορθή γωνία, αλλά για τις άλλες δύο. Είσοδος της τριγωνομετρικής συνάρτησης είναι επομένως το μέγεθος μιας γωνίας. Έξοδος είναι ο λόγος κάποιων δύο πλευρών. Οι επιμέρους συναρτήσεις διαφέρουν ανάλογα με το ποιες πλευρές χρησιμοποιούν.

Το ημίτονο δουλεύει με την απέναντι κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα. Ποια είναι η προσκείμενη και ποια η απέναντι κάθετη πλευρά ως προς μια δοσμένη γωνία, το δείχνει το επόμενο σχήμα.

Στο σχήμα δουλεύουμε με τη γωνία βήτα, δηλαδή με τη γωνία στην κορυφή B. Η μαύρη πλευρά είναι η υποτείνουσα, σε αυτήν δεν αλλάζει τίποτα. Η πλευρά c που είναι τονισμένη με κόκκινο είναι η προσκείμενη κάθετη πλευρά, επειδή προσκείται στη γωνία βήτα. Η πλευρά b που είναι τονισμένη με μπλε είναι η απέναντι κάθετη πλευρά, επειδή βρίσκεται απέναντι από τη γωνία βήτα. Σημασία έχει ότι αυτές οι έννοιες αναφέρονται πάντα σε μια γωνία. Αν κοιτάξουμε το σχήμα από τη σκοπιά της γωνίας γάμμα, παίρνουμε το εξής αποτέλεσμα:

Η συνάρτηση ημίτονο

Το ημίτονο της γωνίας άλφα ισούται με το λόγο του μήκους της απέναντι κάθετης πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας. Τι σημαίνει αυτό; Αν υπολογίσουμε (π.χ. με αριθμομηχανή) το ημίτονο της γωνίας άλφα, παίρνουμε την τιμή του πηλίκου

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\alpha )=\frac{\text{Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράς}}{\text{Μήκος της υποτείνουσας}}$$

Ας το δοκιμάσουμε σε αυτό το τρίγωνο και στη γωνία βήτα: Είναι ένα ωραίο τρίγωνο, τα μήκη των πλευρών είναι: |a| = 5, |b| = 3 και |c| = 4. Η απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας βήτα είναι η πλευρά b, υποτείνουσα είναι η πλευρά a. Υπολογίζουμε το πηλίκο b/a, δηλαδή 3/5, που είναι 0,6. Το ημίτονο της γωνίας βήτα ισούται επομένως με 0,6. Η γωνία βήτα έχει μέγεθος 36° 52′ και, αν βάλεις αυτή τη γωνία στην αριθμομηχανή και υπολογίσεις το ημίτονο, θα πάρεις ακριβώς 0,6 (μετά από μια μικρή στρογγυλοποίηση).

Σε τι χρησιμεύει

Χρησιμεύει όταν ξέρεις μία γωνία και το μήκος μιας πλευράς και θέλεις να υπολογίσεις τις υπόλοιπες πλευρές.

Αρχικά γράφουμε τι ξέρουμε. Ξέρουμε τη γωνία άλφα. Ξέρουμε ότι το ημίτονο αυτής της γωνίας είναι ίσο με το λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς (που είναι η πλευρά a) προς την υποτείνουσα (πλευρά b). Μαθηματικά γραμμένο:

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Το ημίτονο της γωνίας το ξέρουμε, ή μάλλον μπορούμε να το υπολογίσουμε, το μήκος της πλευράς a το ξέρουμε. Το μόνο που δεν ξέρουμε είναι το μήκος της πλευράς b. Θα προσπαθήσουμε λοιπόν να λύσουμε ως προς αυτή τη μεταβλητή. Πρώτα πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με το μήκος της πλευράς b. Παίρνουμε

$$|b|\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\alpha )=|a|$$

και τώρα απλώς διαιρούμε την εξίσωση με ημ(α) και παίρνουμε την επιθυμητή μορφή με το μήκος της πλευράς b στο πρώτο μέλος:

$$|b|=\frac{|a|}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\alpha )}.$$

Το μήκος της πλευράς a το ξέρουμε, είναι ίσο με τρία. Το ημίτονο των τριάντα μοιρών είναι ίσο με ένα δεύτερο. Αντικαθιστούμε:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Η πλευρά b έχει μήκος έξι.

Η συνάρτηση συνημίτονο

Το συνημίτονο είναι πολύ παρόμοιο με τη συνάρτηση ημίτονο. Η ορολογία γύρω από το συνημίτονο είναι ίδια με το προηγούμενο μέρος, οπότε ας περάσουμε στον ορισμό:

Το συνημίτονο της γωνίας άλφα ισούται με το λόγο του μήκους της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας. Αν λοιπόν υπολογίσουμε στην αριθμομηχανή το συνημίτονο της γωνίας άλφα, παίρνουμε έτσι την τιμή του πηλίκου

$$\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(\alpha )=\frac{\text{μήκος της προσκείμενης κάθετης πλευράς}}{\text{μήκος της υποτείνουσας}}.$$

Τη διαφορά ανάμεσα στο ημίτονο και στο συνημίτονο τη δείχνει καθαρά το επόμενο σχήμα:

Και οι δύο συναρτήσεις δουλεύουν με την υποτείνουσα του τριγώνου, που μένει μαύρη. Το ημίτονο δουλεύει με την απέναντι κάθετη πλευρά, που είναι – ως προς τη γωνία άλφα – η κόκκινη πλευρά BC. Το συνημίτονο δουλεύει με την προσκείμενη κάθετη πλευρά, που είναι η μπλε πλευρά AB.

Ας γυρίσουμε στο παράδειγμα που περιγράφηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Έπρεπε να υπολογίσουμε το μήκος της υποτείνουσας, αν ξέραμε το μήκος της πλευράς a. Ας προσπαθήσουμε τώρα να υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς c, αν ξέρουμε τη γωνία άλφα και το μήκος της υποτείνουσας, που μόλις υπολογίσαμε στο προηγούμενο παράδειγμα: b = 6.

Τι ξέρουμε; Η γωνία άλφα έχει μέγεθος 30 μοίρες, το μήκος της πλευράς b είναι ίσο με έξι και το συνημίτονο μας δίνει το λόγο της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Προσκείμενη κάθετη πλευρά είναι η πλευρά c, δηλαδή η πλευρά της οποίας το μήκος θέλουμε να βρούμε. Γράφουμε:

$$\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Πρέπει να λύσουμε την εξίσωση ως προς |c|. Αυτό το κάνουμε πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με το μήκος της πλευράς b, οπότε στο δεύτερο μέλος μένει μόνο το μήκος της πλευράς c:

$$|b|\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(\alpha )=|c|$$

Απλώς αντιστρέφουμε τα μέλη:

$$|c|=|b|\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(\alpha )$$

Στο δεύτερο μέλος έχουμε παραστάσεις που είτε τις ξέρουμε είτε μπορούμε να τις υπολογίσουμε. Το συνημίτονο των τριάντα μοιρών είναι περίπου 0,866. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Αυτό είναι το μήκος της πλευράς c. Όπως θα δούμε παρακάτω, το συνημίτονο των τριάντα μοιρών είναι τιμή του πίνακα, που ισούται με

$$\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

οπότε το προηγούμενο μήκος μπορούμε να το γράψουμε με μεγαλύτερη ακρίβεια:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη

Υπάρχουν ακόμη δύο τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Η βασική διαφορά σε σχέση με τις προηγούμενες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι ότι η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δουλεύουν μόνο με τις κάθετες πλευρές, δεν δουλεύουν με την υποτείνουσα.

Η εφαπτομένη της γωνίας άλφα ισούται με το λόγο του μήκους της απέναντι κάθετης πλευράς προς το μήκος της προσκείμενης κάθετης πλευράς. Την εφαπτομένη τη συμβολίζουμε συνήθως εφ ή tan.

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\alpha )=\frac{\text{Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράς}}{\text{Μήκος της προσκείμενης κάθετης πλευράς}}$$

Η συνεφαπτομένη της γωνίας άλφα ισούται με το λόγο του μήκους της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς το μήκος της απέναντι κάθετης πλευράς. Τη συνεφαπτομένη τη συμβολίζουμε συνήθως σφ ή cot.

$$\mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }(\alpha )=\frac{\text{Μήκος της προσκείμενης κάθετης πλευράς}}{\text{Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράς}}$$

Η ορολογία είναι πάλι ίδια με τα προηγούμενα μέρη και η περαιτέρω δουλειά με τις συναρτήσεις είναι ίδια. Ας γυρίσουμε στο προηγούμενο παράδειγμα και ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς c μόνο από το μέγεθος της γωνίας άλφα και το μήκος της πλευράς a, που είναι a = 3.

Η εφαπτομένη είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά, οπότε γραμμένο μαθηματικά θα μοιάζει ως εξής:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Πρέπει να υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς c, άρα πρέπει να λύσουμε αυτή την εξίσωση ως προς την παράσταση |c|. Πολλαπλασιάζουμε με την παράσταση |c| και διαιρούμε με εφ(α), παρόμοια με τα προηγούμενα παραδείγματα.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\alpha )& =& |a|/:\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\alpha )}\end{array}$$

Αντικαθιστούμε στο δεύτερο μέλος, όπου η εφαπτομένη των τριάντα μοιρών είναι περίπου ίση με 0,5773.

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

Για την εφαπτομένη των τριάντα μοιρών υπάρχει τιμή στον πίνακα, ισχύει ότι:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

οπότε τον προηγούμενο υπολογισμό μπορούμε να τον κάνουμε με ακρίβεια:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Πίνακας τιμών

Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη έχουν για ορισμένες ωραίες γωνίες ωραίες τιμές. Ακολουθεί η βασική επισκόπησή τους:

$$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }& \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }& \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }& \mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }\\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Σύνδεσμοι

Σχετικές έννοιες εδώ στον ιστότοπο:

• Προσανατολισμένη γωνία
• Ακτίνιο