Ορθογώνιο τρίγωνο

Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει μία εσωτερική γωνία ορθή, δηλαδή 90 μοιρών. Αυτό το τρίγωνο έχει αρκετές ενδιαφέρουσες ιδιότητες, για τις οποίες θα μιλήσουμε σε αυτό το άρθρο.

Βασική περιγραφή

Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει ήδη περιγραφεί εν μέρει στο βασικό άρθρο για τα τρίγωνα. Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει μία εσωτερική γωνία 90 μοιρών. Οι άλλες δύο εσωτερικές γωνίες πρέπει αναγκαστικά να είναι μικρότερες από 90 μοίρες, γιατί διαφορετικά το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών δεν θα ήταν 180 μοίρες. Μάλιστα ισχύει ότι το άθροισμα των δύο υπόλοιπων γωνιών είναι ακριβώς 90 μοίρες.

Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει φυσικά τρεις πλευρές. Οι δύο από αυτές λέγονται κάθετες πλευρές (οι κόκκινες πλευρές), είναι οι μικρότερες πλευρές, και η τρίτη πλευρά ονομάζεται υποτείνουσα (η μπλε πλευρά) – είναι η μεγαλύτερη πλευρά. Η υποτείνουσα βρίσκεται πάντα απέναντι από το σημείο στο οποίο είναι η ορθή γωνία.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Το ίσως πιο διάσημο μαθηματικό θεώρημα, το Πυθαγόρειο θεώρημα, ισχύει ακριβώς στο ορθογώνιο τρίγωνο. Το Πυθαγόρειο θεώρημα αφορά τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Το θεώρημα λέει ότι «Το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων με πλευρές τις κάθετες πλευρές του». Με μαθηματικό συμβολισμό, για το δικό μας τρίγωνο, όπου υποτείνουσα είναι η πλευρά a:

$$a^2=b^2+c^2$$

Το Πυθαγόρειο θεώρημα στην εικόνα, αυτή τη φορά με τον συνήθη συμβολισμό, όπου υποτείνουσα είναι η c: Το θεώρημα το πραγματεύεται ένα ξεχωριστό άρθρο.

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Στο ορθογώνιο τρίγωνο μπορούμε να υπολογίσουμε πολύ απλά το εμβαδόν, επειδή τα ύψη ταυτίζονται με τις κάθετες πλευρές. Φαντάσου το ορθογώνιο τρίγωνο της πρώτης εικόνας. Πώς θα υπολογίζαμε το εμβαδόν του χωρίς να ξέρουμε κάποιο ύψος; Μπορούμε να συμπληρώσουμε το τρίγωνο ώστε να σχηματιστεί ορθογώνιο. Οι πλευρές του ορθογωνίου θα αποτελούνται από τις κάθετες πλευρές του τριγώνου και τις δύο υπόλοιπες πλευρές τις συμπληρώνουμε ώστε να σχηματιστεί πράγματι ορθογώνιο: Το εμβαδόν του ορθογωνίου ήδη ξέρουμε να το υπολογίζουμε, είναι το γινόμενο των μηκών δύο διαδοχικών πλευρών, στην περίπτωσή μας το γινόμενο των κόκκινων πλευρών AC και AB. Έτσι παίρνουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου. Ωστόσο, η υποτείνουσα BC αποτελεί διαγώνιο του ορθογωνίου, που χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο ίσα μέρη, οπότε αν διαιρέσουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου με το δύο, παίρνουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου. Ο τύπος λοιπόν θα είναι ο εξής:

$$E_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

όπου b και c είναι τα μήκη των κάθετων πλευρών.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι σχέσεις τους. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, όπως το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη, εκφράζουν τον λόγο ανάμεσα στα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου. Ας πάρουμε ξανά το πρώτο τρίγωνο, αυτή τη φορά με τονισμένες τις γωνίες.

Αν θέλουμε να βρούμε τον λόγο των μηκών δύο πλευρών, παίρνουμε και τα δύο μήκη και τα διαιρούμε με τη σειρά που δίνεται. Για παράδειγμα, τον λόγο των μηκών των πλευρών b:c (διαβάζουμε «b προς c») τον βρίσκουμε διαιρώντας 3/5 (η πλευρά b έχει μήκος 3, η πλευρά c έχει μήκος 5).

Η συνάρτηση ημίτονο δουλεύει με τον λόγο δύο πλευρών και μίας γωνίας. Με βάση την εικόνα μας ισχύει: αν πάρουμε τον λόγο των πλευρών b:a, παίρνουμε την τιμή της συνάρτησης ημίτονο για τη γωνία β. Το συνημίτονο λειτουργεί παρόμοια, μόνο που αφορά τον λόγο c:a και την ίδια γωνία β. Ισχύει λοιπόν:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο δουλεύουν πάντα μόνο με τις γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου που είναι μικρότερες από 90 μοίρες. Σε αυτή την περίπτωση με τις γωνίες β και γ. Σε αυτό το εύρος το ημίτονο και το συνημίτονο μας δίνουν πάντα αριθμό στο διάστημα (0, 1), και γι' αυτό μπορείς να θυμάσαι τον κανόνα ότι διαιρείς πάντα τη μικρότερη πλευρά με τη μεγαλύτερη – ώστε να πάρεις αριθμό ακριβώς από το διάστημα (0, 1).

Και οι δύο συναρτήσεις δουλεύουν ταυτόχρονα με μία κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα, ποτέ με δύο κάθετες πλευρές μαζί. Επειδή διαιρείς πάντα τη μικρότερη με τη μεγαλύτερη, η υποτείνουσα θα είναι πάντα στον παρονομαστή του κλάσματος. Αν κοιτάξεις τους τύπους πάνω από την παράγραφο, στον παρονομαστή είναι πάντα το a, που είναι η υποτείνουσα του τριγώνου.

Ο τελευταίος κανόνας είναι ότι το ημίτονο δουλεύει με την απέναντι κάθετη πλευρά, ενώ το συνημίτονο με την προσκείμενη κάθετη πλευρά. Τι σημαίνει αυτό; Αν έχουμε τη γωνία β, τότε η προσκείμενη κάθετη πλευρά είναι εκείνη που ξεκινά από το σημείο B, η κάθετη πλευρά c. Η απέναντι είναι η άλλη κάθετη πλευρά, η κάθετη πλευρά b. Γι' αυτό στον τύπο του ημιτόνου είναι η πλευρά b και στον τύπο του συνημιτόνου η πλευρά c.

Περίληψη: το ημίτονο δίνει τον λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα, το συνημίτονο τον λόγο της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Πώς μπορούμε να το αξιοποιήσουμε; Αν ξέρεις τις γωνίες του τριγώνου και το μήκος της υποτείνουσας ή μιας κάθετης πλευράς, μπορούμε να υπολογίσουμε τα μήκη των υπόλοιπων πλευρών. Παράδειγμα:

Για το προηγούμενο τρίγωνο ισχύει:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Ποιο είναι το μήκος της πλευράς a; Ξέρουμε ότι ισχύει:

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\beta )=\frac{b}{a}$$

Την τιμή του ημιτόνου την ξέρουμε, το μήκος της πλευράς b το ξέρουμε επίσης, ψάχνουμε το μήκος της πλευράς a. Απομονώνουμε το a με ισοδύναμες μετατροπές:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\beta )}\end{array}$$

(Πρώτα πολλαπλασιάσαμε την εξίσωση με a και μετά τη διαιρέσαμε με το ημίτονο.) Στο δεύτερο μέλος έχουμε πια μόνο γνωστές τιμές, οπότε αντικαθιστούμε. Την τιμή του ημιτόνου τη βρίσκουμε με αριθμομηχανή.

$$a=\frac{b}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Η πλευρά a έχει μήκος 5,83. Αν υπολογίζεις το ημίτονο με αριθμομηχανή, πρόσεξε να έχεις ενεργοποιημένη τη λειτουργία για μοίρες. Συχνά το πρόβλημα είναι ότι υπολογίζεις με ακτίνια, που είναι άλλη μονάδα μέτρησης γωνιών. Ισχύει πάντως η σχέση μετατροπής:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

όπου deg είναι η τιμή σου σε μοίρες.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη

Στο ορθογώνιο τρίγωνο μπορούμε εύκολα να χρησιμοποιήσουμε και αυτές τις δύο συναρτήσεις. Πάλι ισχύει ότι δουλεύουμε πάντα με γωνίες μικρότερες από 90 μοίρες. Σε αντίθεση με το ημίτονο και το συνημίτονο, όμως, αυτές οι συναρτήσεις δεν δουλεύουν με την υποτείνουσα του τριγώνου, αλλά μόνο με τις κάθετες πλευρές. Ισχύει λοιπόν ότι η εφαπτομένη μιας γωνίας ισούται με τον λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά και η συνεφαπτομένη με τον λόγο της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την απέναντι.

Για το προηγούμενο τρίγωνο ισχύει λοιπόν:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }(\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Ας δοκιμάσουμε στο προηγούμενο τρίγωνο να υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς AC (πλευρά b) με τη βοήθεια της γωνίας β. Το μέτρο της το ξέρουμε από το προηγούμενο παράδειγμα. Ξέρουμε ότι ισχύει:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\beta )=\frac{b}{c}$$

Απομονώνουμε την πλευρά b:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\beta )\end{array}$$

(Απλώς πολλαπλασιάσαμε την εξίσωση με c και αντιμεταθέσαμε τα μέλη.) Τώρα ξέρουμε πια ό,τι χρειάζεται για να υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς b. Αντικαθιστούμε:

$$b=c\cdot \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\beta )=5\cdot \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Ήδη από την εικόνα βλέπουμε ότι βρήκαμε τη σωστή λύση. Πάλι πρόσεξε ότι στον τύπο η εφαπτομένη έχει τιμή σε μοίρες, ενώ η αριθμομηχανή μπορεί να απαιτεί γωνία σε ακτίνια.

Για επίδειξη μπορούμε να υπολογίσουμε την ίδια πλευρά με τη συνεφαπτομένη:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }(\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }(\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }(\beta )}\end{array}$$

Αντικαθιστούμε τις τιμές:

$$b=\frac{5}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }(30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Πάλι βρήκαμε το σωστό αποτέλεσμα.