Matriz de cambio de base

Si tenemos un espacio vectorial V y dos bases suyas, podemos expresar un mismo vector del espacio como combinación de los vectores de ambas bases. La matriz de cambio de base nos ayuda entonces a convertir una expresión en la otra.

Motivación

Sean V un espacio vectorial de dimensión n y dos bases distintas suyas, E = {e₁, …, e_n} y F = {f₁, …, f_n}. Elegimos además un vector x de V. Como x es del espacio V y como E y F son bases de este espacio, tiene que cumplirse que existen coeficientes a₁, …, a_n tales que:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

y, al mismo tiempo, tienen que existir coeficientes b₁, …, b_n tales que:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

En el primer caso expresamos el vector x mediante la base E, y en el segundo mediante la base F. Usamos dos bases distintas para expresar x, así que obtenemos a la vez dos conjuntos distintos de coeficientes, a_i y b_i. Surge la pregunta: si conocemos los coeficientes b_i, ¿existe alguna manera de obtener a partir de ellos los coeficientes a_i, es decir, la expresión respecto a la otra base?

Sí, para eso sirve la llamada matriz de cambio de base.

Cómo obtener la matriz de cambio de base

Seguimos con el espacio V y las dos bases E = {e₁, …, e_n} y F = {f₁, …, f_n}. Como E es una base del espacio V, sin duda todos los vectores f₁, …, f_n se podrán expresar como combinaciones lineales de los vectores de la base E. Los vectores f₁, …, f_n forman parte de la base F, pero al mismo tiempo son elementos corrientes del espacio V, así que tiene que cumplirse:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Ahora reescribimos estas ecuaciones en una matriz de manera que en la primera columna estén los coeficientes del vector $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, es decir, a_i1, en la segunda los coeficientes del vector $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, es decir, a_i2, etc. Obtenemos la matriz:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Una matriz así se llama matriz de cambio de base de la base E a la base F. Si tenemos un vector x = (x₁,…, x_n) de V que respecto a la base F tiene coeficientes b₁, …, b_n, los coeficientes a₁, …, a_n respecto a la base E los obtenemos así:

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Ejemplo

Trabajaremos en el espacio vectorial ℝ³. Elegimos como una de las bases la base canónica E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y como la otra la base F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)}. La matriz de cambio de base de E a F tendrá la forma

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Ahora elegimos un vector cualquiera x ∈ ℝ³, por ejemplo x = (12, 41, 28). Respecto a la base F tiene coeficientes b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Hacemos, pues, el producto de matrices:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Respecto a la base E, el vector x tiene coeficientes a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Por tanto, se cumple:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$