Propiedad asociativa

La asociatividad es una propiedad de operaciones como, por ejemplo, la suma o la multiplicación. Fíjate en las dos expresiones siguientes de una suma:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Las expresiones se diferencian solo en dónde está el paréntesis. Pero ¿se diferencian los resultados? Las dos expresiones llevan al mismo resultado, la suma es siempre igual a 6. Si la colocación de los paréntesis no influye en el resultado, decimos que la operación es asociativa. Con más precisión podemos escribir que la operación a ∘ b es asociativa si se cumple

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Otra operación asociativa es la multiplicación, porque se cumple

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Operaciones que no son asociativas

La resta no es asociativa. Como ejemplo podemos tomar la expresión (10 − 4) − 3. Primero calculamos la diferencia del paréntesis y nos sale 6 − 3, que es igual a 3. Pero si probamos a calcular 10 − (4 − 3), de nuevo calculamos primero el contenido del paréntesis y obtenemos 10 − 1, que es 9. La operación resta no es, por tanto, asociativa.

De forma parecida, la división no es una operación asociativa. Como ejemplo tomemos la expresión (64 / 4) / 2. Primero calculamos el paréntesis y obtenemos 16/2, que es 8. Pero si colocamos el paréntesis en otro sitio, obtenemos 64 / (4 / 2), y tras calcular el paréntesis tenemos 64 / 2, que es 32. La operación división no es, por tanto, asociativa.

Otra operación típica que no es asociativa es la potencia:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

¡La asociatividad se refiere a una sola operación!

Ten cuidado: la asociatividad se refiere siempre a una sola operación. Si tuviéramos una expresión con tres números pero sin la misma operación, no podríamos aplicar la regla asociativa. Por ejemplo:

$$(1+2)\cdot 3$$

la expresión contiene dos operaciones: suma y multiplicación. Las dos operaciones son asociativas por separado, pero aun así en este momento no podemos aplicar la regla asociativa, no podemos transformarla en

$$1+(2\cdot 3)$$

porque la expresión contiene dos operaciones distintas. Para poder aplicar la regla asociativa, las dos operaciones tendrían que ser sumas o las dos multiplicaciones.

Intersección y unión

La intersección de conjuntos es asociativa. Por ejemplo:

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

la transformaríamos primero calculando la intersección de los conjuntos del paréntesis, que da

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

Y la intersección de esos conjuntos es igual a {1}. Si cambiáramos los paréntesis, obtendríamos

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

y tras calcular el paréntesis:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

Y de nuevo obtendríamos {1}. Vemos que la colocación de los paréntesis no importa y por eso la intersección de conjuntos es asociativa. De forma parecida sería asociativa la unión de conjuntos.

Unión de palabras / concatenación

Imagina que tuviéramos una operación de suma para trozos de palabras y que significara sencillamente unir las palabras. Es decir, «orde» + «nador» sería igual a la palabra «ordenador». Esa operación sería asociativa. Por ejemplo, si escribiéramos («para» + «caí») + «das», primero, sumando el paréntesis, obtendríamos «paracaí» + «das», lo que nos daría la palabra «paracaídas». Si cambiáramos los paréntesis, «para» + («caí» + «das»), tras sumar en el paréntesis obtendríamos «para» + «caídas», lo que de nuevo nos daría la palabra «paracaídas».

El máximo o el mínimo es asociativo

Imaginemos la operación a ∨ b, que nos devuelve el mayor de dos números. Esa operación sería asociativa. Por ejemplo, (5 ∨ 10) ∨ 7 lo transformaríamos en 10 ∨ 7 y esto sería igual a 10. El diez es el mayor de esos tres números. Si recolocáramos los paréntesis, obtendríamos 5 ∨ (10 ∨ 7), tras transformarlo 5 ∨ 10, que de nuevo es 10.

El mínimo se comportaría exactamente igual.