Triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo interior recto, es decir, de 90 grados. Este triángulo tiene varias propiedades interesantes, de las que hablaremos en este artículo.

Descripción básica

El triángulo rectángulo ya se describió en parte en el artículo principal sobre los triángulos. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo interior de 90 grados. Los otros dos ángulos interiores tienen que medir necesariamente menos de 90 grados, porque si no la suma de los ángulos interiores no sería 180 grados. Más aún, la suma de los dos ángulos restantes es exactamente 90 grados.

Un triángulo rectángulo tiene, naturalmente, tres lados. Dos de ellos se llaman catetos (los lados rojos), que son los lados menores, y el tercer lado se llama hipotenusa (el lado azul), que es el lado más largo. La hipotenusa está siempre opuesta al vértice donde se encuentra el ángulo recto.

Teorema de Pitágoras

Probablemente el teorema más famoso de las matemáticas, el teorema de Pitágoras, se cumple precisamente en el triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras trata de la longitud de los lados del triángulo. El teorema dice que «el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos». Escrito en lenguaje matemático para nuestro triángulo, en el que la hipotenusa es el lado a:

$$a^2=b^2+c^2$$

El teorema de Pitágoras en una figura, esta vez con la notación habitual, en la que la hipotenusa es c: Al teorema le dedicamos un artículo aparte.

Área de un triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo se puede calcular el área muy fácilmente, porque las alturas coinciden con los catetos. Imagina el triángulo rectángulo de la primera figura. ¿Cómo calcularíamos su área sin conocer ninguna altura? Podemos completar el triángulo hasta formar un rectángulo. Los lados del rectángulo estarán formados por los catetos del triángulo, y los otros dos lados los añadimos de modo que realmente se forme un rectángulo: El área de un rectángulo ya sabemos calcularla: es el producto de las longitudes de dos lados contiguos, en nuestro caso el producto de los lados rojos AC y AB. Así obtenemos el área del rectángulo. Sin embargo, la hipotenusa BC es la diagonal del rectángulo, que divide el rectángulo por la mitad, así que si dividimos el área del rectángulo entre dos, obtenemos el área del triángulo rectángulo. La fórmula quedaría así:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

donde b y c son las longitudes de los catetos.

Las razones trigonométricas seno y coseno

En el triángulo rectángulo se cumplen las razones trigonométricas básicas y sus relaciones. Las razones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente expresan la razón entre las longitudes de los lados del triángulo rectángulo. Tomemos otra vez como ayuda el primer triángulo, esta vez con los ángulos resaltados.

Si queremos hallar la razón entre las longitudes de dos lados, tomamos las dos longitudes y las dividimos en el orden indicado. Por ejemplo, la razón entre las longitudes de los lados b:c (se lee «b es a c») se obtiene dividiendo 3/5 (el lado b mide 3 y el lado c, 5).

El seno trabaja con la razón entre dos lados y un ángulo. Con respecto a nuestra figura se cumple lo siguiente: si tomamos la razón de los lados b:a, obtenemos el valor del seno aplicado al ángulo β. El coseno funciona de forma parecida, solo que para la razón c:a y el mismo ángulo β. Se cumple, pues:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

El seno y el coseno trabajan siempre solo con los ángulos del triángulo rectángulo que son menores de 90 grados. En este caso, con los ángulos β y γ. Para estos ángulos, el seno y el coseno siempre dan un número del intervalo (0, 1), lo que te ayuda a recordar la regla de que siempre divides el lado más corto entre el más largo, para obtener justamente un número del intervalo (0, 1).

Además, ambas funciones trabajan con un cateto y la hipotenusa, nunca con los dos catetos a la vez. Como siempre divides el más corto entre el más largo, la hipotenusa estará siempre en el denominador de la fracción. Si miras las fórmulas que están encima de este párrafo, en el denominador está siempre a, que es la hipotenusa del triángulo.

La última regla es que el seno trabaja con el cateto opuesto, mientras que el coseno trabaja con el cateto contiguo. ¿Qué significa esto? Si tenemos el ángulo β, el cateto contiguo es el cateto que sale del punto B, el cateto c. El opuesto es el otro cateto, el cateto b. Por eso en la fórmula del seno aparece el lado b y en la del coseno el lado c.

Resumen: el seno da la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, el coseno la razón entre el cateto contiguo y la hipotenusa. ¿Cómo podemos aprovecharlo? Si conoces los ángulos del triángulo y la longitud de la hipotenusa o de un cateto, podemos calcular las longitudes de los lados restantes. Ejemplo:

En el triángulo anterior se cumple:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

¿Cuál es la longitud del lado a? Sabemos que se cumple:

$$\mathrm{sen}(\beta )=\frac{b}{a}$$

Conocemos el valor del seno y también la longitud del lado b; buscamos la longitud del lado a. Despejamos a mediante transformaciones equivalentes:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \mathrm{sen}(\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\mathrm{sen}(\beta )}\end{array}$$

(Primero hemos multiplicado la ecuación por a y después hemos dividido la ecuación entre el seno.) En el miembro derecho ya tenemos solo valores conocidos, así que sustituimos. El valor del seno lo calculamos con la calculadora.

$$a=\frac{b}{\mathrm{sen}(\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

El lado a mide 5,83. Si calculas el seno con la calculadora, ten cuidado de tenerla en modo grados. A menudo el problema es que se calcula con radianes, que es otra medida de los ángulos. No obstante, se cumple la relación de conversión:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

donde deg es tu valor en grados.

Las razones trigonométricas tangente y cotangente

En el triángulo rectángulo se pueden usar fácilmente también estas dos funciones. De nuevo se cumple que trabajamos siempre con ángulos menores de 90 grados. A diferencia del seno y del coseno, estas funciones no trabajan con la hipotenusa del triángulo, sino solo con los catetos. Se cumple, pues, que la tangente de un ángulo es igual a la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, y la cotangente es la razón entre el cateto contiguo y el opuesto.

Con respecto al triángulo anterior se cumple, por tanto:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \text{cotan}(\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Vamos a calcular en el triángulo anterior la longitud del lado AC (el lado b) mediante el ángulo β. Su medida la conocemos del ejemplo anterior. Sabemos que se cumple:

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

Despejamos el lado b:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(Hemos multiplicado la ecuación por c y hemos intercambiado los miembros.) Ahora ya conocemos todo lo necesario para calcular la longitud del lado b. Sustituimos:

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Ya por la figura vemos que nos ha salido la solución correcta. Solo que otra vez hay que tener cuidado: en la fórmula la tangente lleva un valor en grados, mientras que la calculadora puede exigir el ángulo en radianes.

A modo de ilustración, podemos calcular el mismo lado mediante la cotangente:

$$\begin{array}{rcl}\text{cotan}(\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \text{cotan}(\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\text{cotan}(\beta )}\end{array}$$

Sustituimos los valores:

$$b=\frac{5}{\text{cotan}(30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

De nuevo nos ha salido el resultado correcto.