Razones trigonométricas

En este artículo vamos a tratar las razones trigonométricas, también llamadas a veces funciones trigonométricas. La palabra trigonometría procede del griego: «trigonon» significa triángulo y «metron», medida. Conocemos cuatro funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente y cotangente.

Conceptos básicos del triángulo

Las razones trigonométricas trabajan con los ángulos de un triángulo, así que en esta parte repasaremos los conceptos relacionados con el triángulo.

En la figura vemos un triángulo formado por los vértices A, B y C; se trata, pues, del triángulo ABC. Tiene tres lados: AB, BC, AC. Fíjate además en que estos lados están nombrados también con letras minúsculas. Esta denominación sigue una regla: frente al vértice A está el lado a, frente al vértice B está el lado b y frente al vértice C está el lado c. Cada lado recibe, pues, el nombre del vértice opuesto; es el lado que no contiene a ese vértice.

Todo triángulo tiene tres ángulos interiores, que solemos designar con las letras griegas alfa α, beta β y gamma γ. La suma de los tres ángulos interiores es siempre 180 grados. En el vértice A solemos tener el ángulo alfa, en B el beta y en C el gamma.

Aunque de alguna manera podemos usar las razones trigonométricas en cualquier triángulo, trabajamos a menudo solo con el triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto, es decir, de 90 grados. Por ejemplo, tiene este aspecto:

Los lados del triángulo rectángulo tienen nombres especiales. El lado más largo está frente al ángulo recto y se llama hipotenusa (el lado azul de la figura). Los dos lados más cortos se llaman catetos (los lados rojos). Este triángulo será el que más nos interese en este artículo.

Designación de los catetos del triángulo

Pasemos poco a poco a la primera razón trigonométrica, el seno. Todas las funciones trigonométricas nos muestran la relación entre un ángulo del triángulo y la razón entre las longitudes de dos lados. Por lo general no se trata del ángulo recto, sino de los otros dos. La entrada de la función trigonométrica es, pues, la medida de un ángulo y la salida es la razón de dos lados. Las distintas funciones se diferencian según los lados con los que trabajan.

La función seno trabaja con el cateto opuesto y la hipotenusa. La siguiente figura muestra qué es el cateto contiguo y el cateto opuesto respecto de un ángulo dado.

En la figura trabajamos con el ángulo beta, es decir, con el ángulo del vértice B. El lado negro es la hipotenusa, en ella no cambia nada. El lado c, resaltado en rojo, es el cateto contiguo, porque es contiguo al ángulo beta. El lado b, resaltado en azul, es el cateto opuesto, porque está frente al ángulo beta. Lo importante es que estos conceptos se refieren siempre a un ángulo. Si miramos la figura desde el punto de vista del ángulo gamma, obtenemos este resultado:

La función seno

El seno del ángulo alfa es igual a la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa. ¿Qué significa esto? Si calculamos (por ejemplo, con la calculadora) el seno del ángulo alfa, obtenemos el valor del cociente

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{\text{longitud del cateto opuesto}}{\text{longitud de la hipotenusa}}$$

Probémoslo en este triángulo y con el ángulo beta: Es un triángulo bonito, las longitudes de los lados son: |a| = 5, |b| = 3 y |c| = 4. El cateto opuesto al ángulo beta es el lado b y la hipotenusa es el lado a. Calculamos el cociente b/a, es decir, 3/5, que es 0,6. El seno del ángulo beta es, pues, 0,6. El ángulo beta mide 36° 52′; si introduces este ángulo en la calculadora y calculas el seno, obtendrás justamente 0,6 (tras un pequeño redondeo).

Para qué sirve

Sirve cuando conoces un ángulo y la longitud de un lado y necesitas calcular los lados restantes.

Primero escribimos qué es lo que sabemos. Conocemos el ángulo alfa. Sabemos que el seno de este ángulo es igual a la razón entre el cateto opuesto (que es el lado a) y la hipotenusa (el lado b). Escrito matemáticamente:

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

El seno del ángulo lo conocemos, o mejor dicho, podemos calcularlo, y la longitud del lado a también la conocemos. Lo único que no conocemos es la longitud del lado b. Intentaremos, pues, despejar esta variable. Primero multiplicamos la ecuación por la longitud del lado b. Obtenemos

$$|b|\cdot \mathrm{sen}(\alpha )=|a|$$

y ahora solo dividimos la ecuación entre sen(α) y obtenemos la forma deseada, con la longitud del lado b en el miembro izquierdo:

$$|b|=\frac{|a|}{\mathrm{sen}(\alpha )}.$$

La longitud del lado a la conocemos, es igual a tres. El seno de treinta grados es igual a un medio. Sustituimos:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

El lado b mide seis.

La función coseno

El coseno es muy parecido a la función seno. La terminología en torno a la función coseno es la misma que en la parte anterior, así que pasemos a la definición:

El coseno del ángulo alfa es igual a la razón entre la longitud del cateto contiguo y la longitud de la hipotenusa. Así que si calculamos con la calculadora el coseno del ángulo alfa, obtenemos el valor del cociente

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{longitud del cateto contiguo}}{\text{longitud de la hipotenusa}}.$$

La diferencia entre el seno y el coseno se ve claramente en la siguiente figura:

Ambas funciones trabajan con la hipotenusa del triángulo, que sigue en negro. El seno trabaja con el cateto opuesto, que es —respecto del ángulo alfa— el lado rojo BC. El coseno trabaja con el cateto contiguo, que es el lado azul AB.

Volvamos al ejemplo del capítulo anterior. Teníamos que calcular la longitud de la hipotenusa conociendo la longitud del lado a. Intentemos ahora calcular la longitud del lado c, conociendo el ángulo alfa y la longitud de la hipotenusa que acabamos de calcular en el ejemplo anterior: b = 6.

¿Qué sabemos? El ángulo alfa mide 30 grados, la longitud del lado b es seis y el coseno nos da la razón entre el cateto contiguo y la hipotenusa. El cateto contiguo es el lado c, que es justo el lado cuya longitud queremos averiguar. Escribimos:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Necesitamos despejar |c| de la ecuación. Lo hacemos multiplicando la ecuación por la longitud del lado b, con lo que en el miembro derecho nos queda solo la longitud del lado c:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Solo intercambiamos los miembros:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

En el miembro derecho tenemos expresiones que o bien conocemos o bien sabemos calcular. El coseno de treinta grados es aproximadamente 0,866. Sustituimos en la ecuación:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Esa es la longitud del lado c. Como veremos más adelante, el coseno de treinta grados es uno de los valores notables de la tabla y es igual a

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

así que la longitud anterior podemos expresarla con más exactitud:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangente y cotangente

Existen otras dos razones trigonométricas, la tangente y la cotangente. La diferencia principal respecto de las funciones anteriores es que la tangente y la cotangente trabajan solo con los catetos, no con la hipotenusa.

La tangente del ángulo alfa es igual a la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto contiguo. La tangente se suele denotar tg o tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{longitud del cateto opuesto}}{\text{longitud del cateto contiguo}}$$

La cotangente del ángulo alfa es igual a la razón entre la longitud del cateto contiguo y la longitud del cateto opuesto. La cotangente se suele denotar cotg o cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{longitud del cateto contiguo}}{\text{longitud del cateto opuesto}}$$

La terminología vuelve a ser la misma que en las partes anteriores, y el trabajo con las funciones también. Volvamos al ejemplo anterior e intentemos calcular la longitud del lado c solo a partir de la medida del ángulo alfa y de la longitud del lado a, que es a = 3.

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, así que escrito matemáticamente quedará así:

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Necesitamos calcular la longitud del lado c, así que tenemos que despejar de esta ecuación la expresión |c|. Multiplicamos por |c| y dividimos entre tan(α), igual que en los ejemplos anteriores.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

Sustituimos en el miembro derecho, donde la tangente de treinta grados es aproximadamente 0,5773.

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

Para la tangente de treinta grados también hay un valor notable de la tabla; se cumple que:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

así que el cálculo anterior podemos hacerlo con exactitud:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Ángulos notables

El seno, el coseno, la tangente y la cotangente tienen valores bonitos para algunos ángulos bonitos, los llamados ángulos notables. Aquí tienes su resumen básico:

$$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{sen}& \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Enlaces

Conceptos relacionados en esta web:

• Ángulo orientado
• Medida de un ángulo en radianes