Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es quizá el teorema más famoso de todas las matemáticas. Sobre el propio Pitágoras de Samos puedes leer en otro sitio. Ahora vamos a lanzarnos a por los triángulos.

Área del cuadrado construido sobre el lado de un triángulo

El teorema de Pitágoras nos da una relación muy útil entre las áreas de los cuadrados que construimos sobre los lados de un triángulo rectángulo. Imagina que tenemos este triángulo rectángulo:

La cuadrícula del fondo nos da las dimensiones del triángulo. El cateto AC mide 4 y el cateto BC mide 3. Pero ¿cuánto mide el lado AB, la hipotenusa del triángulo? A primera vista no podemos saberlo, pero podemos intentar calcularlo.

Primero construimos el cuadrado sobre el cateto BC. Esto significa que construimos un cuadrado cuyos lados miden lo mismo que el lado BC, es decir, tres. En la figura lo dibujaríamos así:

Ha aparecido el cuadrado BCDE, cuyos lados miden 3. ¿Cuál es el área de ese cuadrado? El área de un cuadrado se calcula multiplicando las longitudes de dos de sus lados, así que el área del cuadrado BCDE es 3 · 3 = 9. Dibujamos ahora el cuadrado sobre el otro cateto, el cateto AC. Ese cuadrado tendrá lados de longitud 4.

Este cuadrado tendrá un área de 4 · 4 = 16. Dibujemos por fin el último cuadrado, el que está sobre la hipotenusa AB:

Todavía no sabemos cuál es el área de este nuevo cuadrado, porque no conocemos la longitud del lado AB. Pero ahora podemos aprovechar el teorema de Pitágoras, que dice que el área de este último cuadrado ABHI es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados anteriores. Los dos primeros cuadrados tenían áreas 9 y 16, así que el último cuadrado tiene —según el teorema de Pitágoras— un área de 9 + 16 = 25. Lo añadimos a la figura:

Y ahora solo queda responder a la última pregunta: si el cuadrado ABHI tiene un área de 25, ¿cuánto miden sus lados? Tiene que ser la raíz cuadrada de 25, así que la longitud del lado AB es $\sqrt{25}=5$. Si lo comprobamos calculando el área de un cuadrado de lado 5, obtenemos 5 · 5 = 25. Y ahora ya podemos pasar a los números y las definiciones.

Enunciado

El teorema de Pitágoras dice más o menos así: «El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos». Matemáticamente, este teorema se suele escribir así

$$c^2=a^2+b^2,$$

donde a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo y c es la longitud de la hipotenusa.

Entonces, ¿qué dice exactamente el teorema de Pitágoras y cómo se relaciona esta expresión con la figura anterior? El área del cuadrado construido sobre un lado del triángulo es el área del cuadrado cuyo lado mide lo mismo que ese lado. El área del cuadrado se calcula multiplicando una longitud de lado por otra, es decir, si el lado mide c, el área A es: A = c · c, que con ayuda de las potencias podemos escribir como A = c².

Así, la expresión c² = a² + b² se lee precisamente como «el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lados a y b».

Insisto una vez más en que el teorema solo vale en un triángulo rectángulo, no en un triángulo cualquiera. El teorema de Pitágoras se usa normalmente cuando conoces la longitud de dos lados y necesitas calcular la del lado que falta. Si conocemos las longitudes de los dos catetos a y b y queremos obtener la longitud de la hipotenusa c, calculamos las áreas sobre los catetos, es decir, calculamos a² + b². Así obtenemos el área del cuadrado sobre la hipotenusa c, es decir, obtenemos c². Para obtener la longitud del lado c, basta con extraer la raíz cuadrada de esa área. Obtenemos así la fórmula:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

donde c es la longitud de la hipotenusa y a, b son las longitudes de los catetos. Si, por el contrario, conociéramos la longitud de la hipotenusa y la de un cateto y quisiéramos calcular la longitud del otro cateto, lo haríamos igual, solo que antes despejaríamos uno de los catetos en la ecuación. Así que si conocemos c y b y queremos calcular a, en la ecuación

$$c^2=a^2+b^2,$$

despejamos a² restando b²:

$$c^2-b^2=a^2,$$

intercambiamos el primer y el segundo miembro:

$$a^2=c^2-b^2$$

y por último extraemos la raíz cuadrada:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Primer ejemplo

Sea el triángulo ABC del que conocemos las longitudes de dos lados: a = 3 y b = 4. Es el mismo triángulo que teníamos al principio. La pregunta es: ¿cuánto mide el lado que falta, el lado c? Vamos a intentar calcularlo con la fórmula anterior. La siguiente figura representa el triángulo:

Vemos que conocemos las longitudes de los dos catetos y nos falta la de la hipotenusa. Por eso usamos la primera fórmula, la que no hemos modificado:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Sustituimos las variables a y b por las longitudes de los lados:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

En la fórmula elevamos al cuadrado; recordemos que se cumple la siguiente relación:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Así que, tras calcular los cuadrados, obtenemos:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

El resultado es que la longitud del lado c es igual a cinco.

Segundo ejemplo

En este ejemplo vamos a calcular la longitud de uno de los catetos, conociendo el otro cateto y la longitud de la hipotenusa. Tenemos el triángulo ABC con lados de longitudes |AC| = 10 y |BC| = 6. El triángulo aparece en la siguiente figura:

En la figura vemos que la hipotenusa, es decir, el lado más largo, es el lado |AC|. Necesitamos calcular la longitud del lado |AB|. Sustituimos en la segunda fórmula, la del cálculo de la longitud de un cateto:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Para aplicar bien el teorema de Pitágoras, tenemos que pensar ahora qué representa cada variable. En esta fórmula, la variable a es la longitud del lado que queremos calcular, en nuestro caso el lado |AB|. La variable c es la longitud de la hipotenusa, el lado más largo, en nuestro caso el lado |AC|. Y la variable b es la longitud del cateto cuya longitud conocemos, en nuestro caso |BC|. Por eso sustituimos en la fórmula así:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

Sustituimos las longitudes concretas de los lados que conocemos:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Calculamos las potencias y restamos:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Y por último extraemos la raíz cuadrada:

$$|AB|=8$$

La longitud del lado |AB| es igual a ocho.

Problema

Imagina que vas a casa de una amiga por un camino recto. El camino mide 250 metros. Después de ese cuarto de kilómetro giras a la izquierda, recorres otros 100 metros y llegas a casa de tu buena amiga. La pregunta es: ¿cuánto más corto será el camino si vas en línea recta a través del campo?

Como primer paso, calculamos la longitud del camino si vas por la carretera. Primero recorres 250 metros en línea recta y luego 100 metros a la izquierda. En total son 250 + 100 = 350 metros. Ahora toca calcular la longitud del camino a través del campo. Para ello nos hará falta una figura.

Cada cuadrito de la figura representa 50 metros. ¿Cómo sería el camino directo a través del campo? Sería el segmento del punto A al punto C. Lo dibujamos en la figura en color rojo.

Ya vemos que, para calcular la longitud del camino a través del campo, nos basta con aplicar bien el teorema de Pitágoras. Buscamos la longitud de la hipotenusa y conocemos las longitudes de los dos catetos, así que usamos la primera fórmula y la completamos así:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

Sustituimos las longitudes:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Elevamos al cuadrado:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Extraemos la raíz cuadrada y redondeamos:

$$|AC|=269$$

El camino a través del campo mide 269 metros. Todavía no hemos terminado, porque la pregunta era cuánto más corto es el camino a través del campo. Restamos las longitudes y llamamos r a la diferencia:

$$r=350-269=81$$

La respuesta es que el camino es unos 81 metros más corto.

Longitud del lado de un cuadrado

¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya diagonal mide diez? ¿Cómo nos ayuda el teorema de Pitágoras? Tenemos que encontrar en el cuadrado algún triángulo rectángulo que podamos usar para calcular el lado del cuadrado. Recuerda que un cuadrado tiene cuatro lados iguales. Dibujemos la situación actual:

Vemos que en el cuadrado han aparecido de golpe dos triángulos con ángulo recto que podríamos usar para calcular la longitud del lado. Tomemos, por ejemplo, el triángulo BCD. El lado DB es la hipotenusa y los otros dos son los catetos. No conocemos las longitudes de los catetos, pero sí la de la hipotenusa. Los dos catetos tienen la misma longitud, es decir, |BC| = |CD|. Usamos el teorema de Pitágoras en su forma básica:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Como los catetos son iguales, nos basta con calcular el cuadrado de un cateto y multiplicarlo por dos; no hace falta calcular el cuadrado de los dos catetos, porque son iguales y saldría el mismo resultado. Podemos escribir:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

Conocemos la longitud del lado BD, que es la hipotenusa. Es igual a diez. Sustituimos en la ecuación:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

Elevamos el diez al cuadrado:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

Dividimos entre dos:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

Simplificamos la fracción:

$$50=|BC{|}^2$$

Ya casi hemos llegado. Sabemos que el cuadrado de la longitud del lado del cuadrado es igual a 50. Para hallar la longitud del lado, tenemos que extraer la raíz cuadrada en la ecuación, cosa que podemos permitirnos porque trabajamos con números positivos:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

Dejamos la raíz de cincuenta en esta forma, pero en el segundo miembro de la ecuación podemos eliminar la raíz y la potencia, porque se cancelan entre sí.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Si quieres, también puedes calcular la raíz de cincuenta. Redondeando, saldría siete:

$$7=|BC|$$

Así pues, la longitud del lado del cuadrado es aproximadamente siete, y exactamente la raíz cuadrada de cincuenta.

Calculadora

Calcula la hipotenusa a partir de los dos catetos, o un cateto a partir de la hipotenusa y del otro cateto. Puedes cambiar las unidades en cada campo.