Juuret

Juuri on osittainen käänteisfunktio potenssille. Useimmiten käsitellään neliöjuurta, joka etsii sellaisen luvun, että kun se kerrotaan itsellään, saadaan alkuperäinen luku, josta juuri otettiin.

Neliöjuuri

Juurelle käytetään merkkiä $\sqrt{}$. Jotta juuren argumenttia ei tarvitsisi kirjoittaa sulkuihin esimerkiksi näin: $\sqrt{}$(25), koko argumentin (lausekkeen, josta juuri otetaan) päälle vedetään vaakaviiva, näin: $\sqrt{25}$.

Aluksi käsitellään vain reaaliluvun neliöjuurta. Se määritellään näin:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Kun luvun a neliöjuuri kerrotaan luvun a neliöjuurella, saadaan luku a. Luvun 9 neliöjuuri on siis 3, koska 3 · 3 = 9.

Edellisen lausekkeen voi kirjoittaa myös näin:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Se on vain toinen tapa kirjoittaa edellinen kertolasku, nimittäin potenssin avulla.

Olennaista on, että tämä yhtälö pätee vain niillä luvuilla a, jotka kuuluvat neliöjuuren määrittelyjoukkoon. Negatiivisesta luvusta ei nimittäin voi ottaa neliöjuurta. Mistä tahansa positiivisesta luvusta voi ottaa neliöjuuren, nollasta voi, mutta negatiivisesta luvusta ei osata? Miksi se ei onnistu?

Oletetaan, että halutaan laskea luvun −25 neliöjuuri. Valittavana on periaatteessa kaksi vaihtoehtoa: joko positiivinen tai negatiivinen luku. Jos valitaan positiivinen, saadaan 5 · 5 = 25. Saatiin kyllä 25, mutta halutaan −25. Kokeillaan siis lukua −5, mutta kertolaskun jälkeen saadaan taas 25. Kahden negatiivisen luvun tulo on yksinkertaisesti positiivinen. Sama pätee kahden positiivisen luvun tulolle. Jotta saataisiin −25, pitäisi kertoa −5 · 5, eikä se onnistu, koska silloin kerrotaan kaksi eri lukua, vaikka ne eroavat vain etumerkiltään. Siksi negatiivisen luvun neliöjuurta ei voi laskea.

n:s juuri

Samoin kuin lausekkeen voi korottaa toiseen, kolmanteen tai neljänteen potenssiin, voidaan ottaa myös kolmas ja neljäs juuri ja lopulta reaaliluvun n:s juuri. Juuren indeksi kirjoitetaan yleensä juurimerkin kulmaan, näin:

$$\sqrt[5]{32}$$

Tämä merkintä tarkoittaa luvun kolmekymmentäkaksi viidettä juurta. Määritellään n:s juuri n:nnen potenssin avulla näin:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in {\mathbb{Z}}^{+},a,b\ge 0$$

Kun n:n paikalle sijoitetaan kaksi, saadaan neliöjuuri sellaisena kuin se juuri määriteltiin. Lyhyemmin sen voisi määritellä myös näin:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Sopimuksena on, että neliöjuuressa kakkosta ei tarvitse kirjoittaa, eli nämä merkinnät ovat yhtäpitäviä:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Neljännelle juurelle pätisi siis esimerkiksi:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Ja yksi konkreettinen esimerkki:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Ja päinvastoin pätee 4 · 4 · 4 = 64.

Negatiivisen luvun juuri

Tiedetään jo, että negatiivisen luvun neliöjuurta ei ole, koska a², jossa a on reaaliluku, ei koskaan ole negatiivinen. Korkeammissa juurissa ei kuitenkaan enää kerrota vain kahdesti, joten voi syntyä tilanteita, joissa negatiivisen luvun n:s juuri on olemassa. Miten asia siis on?

Ongelmana oli, että kun negatiivinen luku kerrotaan kahdesti, saadaan positiivinen luku. Tulokseen −25 tarvittiin tulo −5 · 5. Mutta mitä tapahtuu, kun kerrotaan kolme negatiivista lukua? Kahden ensimmäisen negatiivisen luvun tulo on positiivinen. Kun se kerrotaan vielä viimeisellä negatiivisella luvulla, tulos on taas negatiivinen. Jos kerrottaisiin vielä kerran (yhteensä neljä kertaa), tulos olisi taas positiivinen.

Opetus on se, että kun negatiivinen luku kerrotaan n kertaa, tulo on positiivinen, jos n on parillinen, ja negatiivinen, jos n on pariton. Tästä päätellään, että negatiivisen luvun n:s juuri on olemassa, kun n on pariton. Esimerkki:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Muuttaminen potenssiksi

Juuret voi helposti muuttaa potensseiksi, ja usein se myös tehdään, koska potensseilla on sen jälkeen helpompi laskea. Pätee seuraava yhteys:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Luvun a n:s juuri on sama kuin a korotettuna potenssiin 1/n. Tästä on hyötyä myös silloin, kun jonnekin täytyy syöttää neliöjuurta korkeampi juuri. Usein se ei onnistu suoraan, mutta eksponenttiin voi syöttää murtoluvun. Jos haluat piirtää neljännen juuren kuvaajan, piirrä kuvaaja funktiolle

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Useimmin käytetään neliöjuuren muuttamista:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Juurten kaavat

Koska juuren voi helposti muuttaa potenssiksi, juurilausekkeet perivät yleisten potenssien kaavat. Pätevät siis seuraavat yhteydet:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Samalla pätevät nämä perusyhteydet:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Juurilausekkeen sieventäminen

Juurilausekkeen sieventäminen on tekniikka, jolla juurilausekkeita yksinkertaistetaan, ja siinä käytetään yhtä edellisistä kaavoista:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Jotkin juuren alla olevat lausekkeet voi nimittäin jakaa tekijöihin, kirjoittaa auki kahdeksi juureksi ja lopuksi laskea toisen juuren arvo. Tyypillinen esimerkki voi olla tämä:

$$\sqrt{4x}$$

Tämän lausekkeen voi edellisen kaavan mukaan kirjoittaa näin:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

Ja nyt neljästä voidaan ottaa neliöjuuri:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

Samoin voi muokata tavallisen luvun, jos halutaan säilyttää tarkka muoto. Esimerkki:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Laskin

Jos tarvitset jonkin juuren laskemiseen apua, voit käyttää tämän sivuston juurilaskinta 🧮.