Lukujonot

Lukujono on funktio, jonka määrittelyjoukko on positiivisten kokonaislukujen joukko. Lukujono voi olla joko ääretön, jos sen määrittelyjoukko on koko positiivisten kokonaislukujen joukko, tai äärellinen, jos sen määrittelyjoukko on vain positiivisten kokonaislukujen joukon äärellinen osajoukko. Jos ei erikseen sanota, että lukujono on äärellinen, oletetaan sen olevan ääretön.

Lukujonon määritelmä

Tämä luku kuvaa lukujonon määritelmän merkitystä edes jonkin verran, eikä sitä välttämättä tarvitse osata, joten voit halutessasi ohittaa koko luvun.

Johdannossa jo paljastettiin, että kyse on funktiosta, jonka määrittelyjoukko on positiiviset kokonaisluvut. Arvojoukko voi olla mikä tahansa joukko, mutta tässä oletetaan se reaalilukujen joukoksi. Mitä tämä tarkoittaa? Näkyvin muutos tulee funktion kuvaajaan: se ei ole yhtenäinen viiva, kuten tavallisilla funktioilla usein on, vaan siinä on vain hajallaan olevia yksittäisiä, erillisiä lukujonon pisteitä.

Lukujono voi olla esimerkiksi lukujen 1, 3, 5, 7, 9, 11, … jono. Se on melko selvästi määritelty lukujono, ja jokaisen pitäisi nähdä, miten se jatkuu. Koska kyse on funktiosta, tämän lukujonon kuvaustaulukko näyttäisi tältä:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Ensimmäisen sarakkeen luvut (määrittelyjoukon arvot) ilmaisevat siis kyseisen luvun järjestyksen lukujonossa. Esimerkiksi tässä yksinkertaisessa lukujonossa luku viisi on kolmannella paikalla. Juuri sen myös taulukko kertoo. Neljännellä paikalla lukujonossa on luku seitsemän, ensimmäisellä yksi ja niin edelleen. Tästä seuraa myös, että äärellisen lukujonon p määrittelyjoukon pitäisi olla muotoa

$$\{1,2,3,\dots ,n\},$$

jotta kyse todella olisi järjestyksestä eikä mikään paikka jäisi väliin. Esimerkiksi joukko

$$\{1,2,3,5,7\}$$

ei kelpaa lukujonon määrittelyjoukoksi, koska siitä puuttuvat neljäs ja kuudes alkio.

Lukujonolle on siis ominaista, että sen jäsenet voidaan jotenkin järjestää ja että jokaisella lukujonon jäsenellä, paitsi ensimmäisellä ja viimeisellä, on edeltäjänsä ja seuraajansa. Tämä on valtava ero reaalifunktioihin, joilla mitään tällaista ei ole. Jos otetaan funktio f(x) = 2x, mikä arvo seuraa arvoa f(5/2)? Sitä ei voi sanoa: tulos on reaaliluku, eikä reaaliluvuilla ole seuraajaa.

Lukujonon merkintä

Tiedetään jo, että lukujono on – yksinkertaistaen sanottuna – numeroitu lukujen rivi. Katsotaan nyt, miten lukujono voidaan kirjoittaa. Itse lukujonolle annetaan yleensä nimeksi pieni kirjain alaindeksillä, esimerkiksi a_i.

Ensimmäinen tapa on luetella kaikki lukujonon arvot. Tähän on jo törmätty edellisessä luvussa. Luettelo voi olla äärellinen tai ääretön:

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Huomautus: en ole varma, millaisia sulkuja lukujonoille yleensä käytetään, enkä löytänyt yhtenäistä käytäntöä. Aaltosulkuja en luultavasti käyttäisi, koska ne merkitsevät joukkoja, joissa järjestyksellä ei ole väliä, kun taas lukujonoissa jäsenten järjestys on tärkeä.

Toinen mahdollisuus on kaava lukujonon n:nnelle jäsenelle. Esimerkiksi lukujono a_n sisälsi kaikki parilliset luvut. Sen voisi ilmaista kaavalla

$$a_n=2n.$$

Alaindeksi n kertoo, kuinka mones lukujonon jäsen on kyseessä. Jos siis halutaan tietää ensimmäinen jäsen, halutaan tietää jäsen a₁, ja jos seitsemäs, niin a₇. Seitsemäs jäsen saataisiin laskettua sijoittamalla lausekkeeseen.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

Tämä merkintätapa on kätevä, koska sen avulla voi heti laskea minkä tahansa lukujonon jäsenen. Toinen mahdollisuus on kirjoittaa lukujono rekursiivisella määritelmällä. Rekursiivisen määritelmän avulla voidaan laskea seuraava jäsen, kun nykyinen tunnetaan. Eli kun jäsen a_n tunnetaan, sen avulla voidaan laskea jäsen a_{n + 1}.

Kun lukujono halutaan antaa rekursiivisesti, on annettava kaksi tietoa: mikä jäsen on ensimmäinen ja sääntö (n + 1):nnen jäsenen laskemiseksi. Jos parillisten positiivisten kokonaislukujen jono haluttaisiin antaa rekursiivisesti, sen voisi tehdä näin:

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

Miten laskeminen nyt tapahtuisi? Tiedetään, että a₁ on kaksi. Sijoitetaan nyt n:n paikalle yksi, jolloin a₂ saadaan lisäämällä a₁:een kaksi. Tulokseksi saadaan neljä, toinen parillinen luku. Ja niin edelleen.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Rekursiivinen määritelmä sopii tilanteisiin, joissa tarvitaan lukujonon suurempaa osaa. Se ei sen sijaan sovi, kun halutaan laskea jokin tietty jäsen, sillä sadannen parillisen luvun laskemiseksi täytyy ensin laskea kaikki sitä edeltävät 99 parillista lukua.

Viimeinen mahdollisuus on antaa lukujono kuvaajan avulla.

Vielä selvennykseksi: lukujonolla ei välttämättä ole mitään yksinkertaista sääntöä, eikä sen tarvitse olla ”järkevä” lukujen rivi. Tämäkin lukujen rivi on lukujono, vaikka sillä ei ensi näkemältä ole mitään syvempää tarkoitusta:

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Lukujonon kuvaaja

Lukujonojen kuvaajat poikkeavat tavallisten reaalifunktioiden kuvaajista. Koska niiden määrittelyjoukko on positiiviset kokonaisluvut, niiden kuvaaja muodostuu erillisistä pisteistä.

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono on yksinkertainen lukujono, jossa peräkkäisten jäsenten välinen erotus on vakio. Jokainen seuraava jäsen on esimerkiksi kolme suurempi tai vaikkapa seitsemäntoista pienempi. Erotusta, jolla lukujonon jäsenet eroavat toisistaan, kutsutaan erotusluvuksi (merkitään d). Ensimmäisessä tapauksessa erotusluku olisi kolme, toisessa miinus seitsemäntoista ja parillisten lukujen jonossa kaksi. Kaavalla aritmeettinen lukujono voitaisiin siis kirjoittaa näin:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

Aritmeettisen lukujonon n:nnen jäsenen yleinen laskukaava on siis

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Otetaan esimerkiksi taas parilliset luvut, joiden erotusluku on kaksi ja joiden ensimmäinen luku on myös kaksi. Silloin toinen parillinen luku saadaan lisäämällä ensimmäiseen kaksi. Kun kaksi lisätään vielä kerran, saadaan kolmas parillinen luku.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Jos haluttaisiin laskea vaikkapa seitsemäs parillinen luku, sijoitettaisiin yleiseen kaavaan näin:

$$a_n=a_1+(n-1)d\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Miten selvitetään, onko annettu lukujono aritmeettinen? Vähennetään n:nnen jäsenen lauseke (n + 1):nnen jäsenen lausekkeesta, ja jos tulokseksi saadaan erotusluku, kyseessä on aritmeettinen lukujono. Olkoon esimerkiksi lukujono

$$a_n=2n+7.$$

Onko tämä lukujono aritmeettinen? Aloitetaan kirjoittamalla (n + 1):s jäsen:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Vähennetään nyt nämä kaksi lauseketta toisistaan:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

Nähdään, että vähennyslaskun jälkeen saatiin d = 2, joten kyseessä on aritmeettinen lukujono, jonka erotusluku on kaksi.

Aritmeettisen lukujonon jäsenten summa

Usein tarvitaan aritmeettisen lukujonon muutaman ensimmäisen jäsenen summa. Miten se tehtäisiin? Intuitiivisesti suunnilleen näin. Pysytään parillisissa luvuissa. Mikä on kolmen ensimmäisen parillisen luvun summa? Siis lukujen 2, 4 ja 6? Ne voi tietysti laskea peräkkäin yhteen, mutta sitä ei haluta, vaan halutaan kaava.

Muokataan lukujonoa näin: ensimmäiseen jäseneen lisätään kaksi ja viimeisestä vähennetään kaksi. Saadaan 4, 4, 4. Nähdään, että saatiin kolme samaa lukua, joten riittää kertoa neljä jäsenten lukumäärällä eli kolmella. Siis 4 · 3 = 12.

Viidellä jäsenellä se näyttäisi tältä: 2, 4, 6, 8, 10. Reunimmaisiin jäseniin lisätään ja niistä vähennetään neljä, toiseksi reunimmaisiin kaksi.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Nytkin riittää vain kertoa 6 · 5 = 30. Mitä huomataan? Aina kerrotaan lukujonon jäsenten lukumäärä lukujonon keskimmäisellä jäsenellä. Lukujonossa 2, 4, 6 keskellä oli neljä ja lukujonossa 2, 4, 6, 8, 10 keskellä oli 6. Miten keskimmäinen jäsen (merkitään p) lasketaan yleisesti? Se lasketaan lukujonon ensimmäisen ja viimeisen jäsenen keskiarvona, eli

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Esimerkiksi tuon toisen lukujonon kohdalla

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Lukujonon a_n n ensimmäisen jäsenen summan kaava olisi siis seuraava:

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

Kaava pätee myös parilliselle määrälle jäseniä, vaikka johdossa käytettiin vain paritonta määrää jäseniä.

Erotusluvun laskeminen

Miten erotusluku lasketaan, kun tunnetaan lukujonon kaksi jäsentä? Pysytään parillisissa luvuissa. Oletetaan, että tunnetaan nämä kaksi lukujonon jäsentä:

$$a_3=6,a_7=14.$$

Miten erotusluku lasketaan? Ensin lasketaan näiden kahden jäsenen erotus:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Nyt riittää jakaa tämä tulos tunnettujen kahden jäsenen välisten askelten lukumäärällä, eli niiden indeksien erotuksella:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Erotusluku on kaksi. Lopullinen kaava erotusluvun d laskemiseen, kun tunnetaan lukujonon jäsenet a_k ja a_l:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Aritmeettisen lukujonon kuvaaja osoittaa tasaista kasvua tai tasaista pienenemistä – kuvaajan erilliset pisteet ovat samalla suoralla.

Geometrinen lukujono

Geometrinen lukujono eroaa edellisestä aritmeettisesta siinä, että kahdella vierekkäisellä jäsenellä ei ole sama erotus vaan sama osamäärä. Tätä osamäärää ei kutsuta erotusluvuksi kuten aritmeettisen lukujonon tapauksessa vaan suhdeluvuksi (merkitään q). Otetaan esimerkiksi lukujono, jossa q = 10 ja ensimmäinen jäsen on 5:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

Yleisesti siis pätee kaava:

$$a_{n+1}=a_n\cdot q$$

Geometrisen lukujonon yleinen jäsen olisi seuraava:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Esimerkiksi edellisen lukujonon kolmas jäsen laskettaisiin näin:

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot q^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot q^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

Geometriset lukujonot voidaan jakaa vielä kahteen ryhmään sen mukaan, millainen suhdeluku niillä on. Jos suhdeluvun itseisarvo on pienempi kuin yksi, koko lukujono lähestyy nollaa. Tällaista lukujonoa kutsutaan suppenevaksi. Jos taas suhdeluvun itseisarvo on vähintään yksi, lukujono ei lähesty nollaa, ja sitä kutsutaan hajaantuvaksi lukujonoksi. Suppenevalle lukujonolle pätee yksinkertainen kaava koko sarjan summalle (pätee vain suppenevalle, koska hajaantuvalla ei ole äärellistä summaa):

$$S_a=\frac{a_1}{1-q}.$$

Kaava geometrisen lukujonon a_n i ensimmäisen jäsenen summalle:

$$S_i=a_1\cdot \frac{q^i-1}{q-1}$$

Kaavan johdon voit lukea Wikipediasta.

Geometrisen lukujonon kuvaaja on joukko erillisiä pisteitä, jotka eivät ole samalla suoralla, paitsi jos suhdeluku on yksi tai nolla. Tyypillinen geometrisen lukujonon kuvaaja näyttää tältä:

Jos suhdeluku on negatiivinen, kuvaajalla on kaksi haaraa: