Funktion ominaisuudet

Funktio on sääntö, joka liittää jokaiseen määrittelyjoukon M lukuun x täsmälleen yhden luvun y arvojoukosta N. Funktio kirjoitetaan yleensä muodossa y = f(x), tai sen voi ilmaista myös suoraan f:y = x, jossa muuttuja x on funktion argumentti.

Määrittelyjoukko ja arvojoukko

Jokaiselle funktiolle täytyy myös määrittää sen määrittelyjoukko, joka on kaikkien argumentin x sallittujen arvojen joukko, eli kaikkien niiden arvojen joukko, joita muuttuja x voi saada.

Yksinkertainen esimerkki: funktion f:y = x määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko ℝ. Toinen esimerkki: funktion $f:y=\frac{1}{x}$ määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko, mutta tällä kertaa nollaa lukuun ottamatta ℝ ∖ {0}, koska nollalla ei voi jakaa, ja lauseke ei silloin olisi mielekäs.

Arvojoukko on vastaavasti kaikkien sallittujen arvojen y joukko, eli kaikkien niiden alkioiden joukko, joihin funktio f voi osoittaa. Taas yksinkertainen esimerkki: olkoon funktio f:y = x. Tämän arvojoukko on ℝ, koska y voi saada minkä tahansa arvon tästä joukosta. Otetaan kuitenkin toinen funktio f:y = |x| (itseisarvo). Tämän arvojoukko on väli [0, +∞[, koska ei voi koskaan käydä niin, että y olisi esimerkiksi miinus viisi, sillä itseisarvon määritelmän mukaan se ei ole mahdollista.

Jos pidetään kiinni käsitteestä kuvaus joukosta A joukkoon B, niin joukko A on määrittelyjoukko ja joukko B on maalijoukko eli joukko, johon funktio kuvaa; arvojoukko on sen osajoukko.

Funktion monotonisuus

Funktion monotonisuus on ominaisuus, joka kertoo, onko funktio annetulla välillä aidosti kasvava, aidosti vähenevä, vähenevä, kasvava, vakio vai mikään edellisistä.

Tämän ominaisuuden voi parhaiten lukea kuvaajasta: jos kuvaaja mielestäsi laskee, kyseessä on aidosti vähenevä funktio, ja jos funktio nousee, se on aidosti kasvava funktio. Kuinka yksinkertaista :-). Määritelmät ovat seuraavat: olkoon f funktio ja x₁, x₂ sen määrittelyjoukon alkioita. Sanotaan silloin, että

• funktio f on aidosti kasvava, jos x₁ < x₂, niin f(x₁) < f(x₂).
• funktio f on aidosti vähenevä, jos x₁ < x₂, niin f(x₁) > f(x₂). (Määritelmä on samanlainen, mutta ensimmäisessä tapauksessa funktion arvojen välillä on < ja toisessa >)

Tarkastele aidosti kasvavan funktion f(x) = ln(x) kuvaajaa:

Nähdään, että kun valitaan x₁, x₂ niin, että x₁ < x₂, niin pätee myös f(x₁) < f(x₂). Tarkastele nyt toista kuvaajaa, tällä kertaa funktion $f(x)=\frac{1}{x}$, joka on aidosti vähenevä esimerkiksi välillä ]0, ∞[:

Tässä nähdään, että kun x₁ < x₂, niin niiden funktion arvoille pätee päinvastoin f(x₁) > f(x₂). Vaikka x₁ on pienempi kuin x₂, se ”tuottaa” suuremman funktion arvon.

Esitellään vielä loput määritelmät:

• Funktio f on kasvava, jos x₁ < x₂, niin f(x₁) ≤ f(x₂). (Määritelmä on samanlainen kuin aidosti kasvavalla funktiolla, mutta sallitaan, että funktiolla on tietyllä välillä vakioarvo)
• Funktio f on vähenevä, jos x₁ < x₂, niin f(x₁) ≥ f(x₂).
• Funktio f on vakiofunktio, jos sen arvojoukko on yhden alkion joukko, eli jos mille tahansa kahdelle luvulle x₁, x₂ pätee f(x₁) = f(x₂).

Esimerkki vähenevästä funktiosta on funktio f(x) = |x|−x:

Huomaa, että välillä ]−∞, 0[ funktio vähenee, mutta jäljellä olevalla välillä funktion arvo on vakio (nolla). Koko määrittelyjoukossa kyseessä on siis vähenevä funktio.

Parillinen ja pariton funktio

Jotkin funktiot voivat tietyin ehdoin olla parillisia tai parittomia. Helpointa on tuntea funktion kuvaaja, siitä sen huomaa nopeimmin. Parillinen funktio on nimittäin symmetrinen y-akselin suhteen, kun taas pariton funktio on symmetrinen origon (0, 0) suhteen. Esimerkki parillisesta funktiosta on y = x² ja pariton funktio on esimerkiksi funktio y = 2x. Määritelmät ovat seuraavat – funktio f on

• parillinen, jos kaikilla määrittelyjoukon alkioilla x pätee f(x) = f(−x),
• pariton, jos kaikilla määrittelyjoukon alkioilla x pätee −f(x) = f(−x).

Parillisista ja parittomista funktioista kerrotaan erillisessä artikkelissa Parillinen ja pariton funktio.

Injektiivinen funktio

Injektiivisen funktion tunnistaa siitä, että kaikki sen arvot ovat erilaisia, mikään funktion arvo ei toistu. Määritelmä:

Funktio f on injektiivinen, jos kaikilla määrittelyjoukon alkioilla x₁, x₂ pätee

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Jos funktion määrittelyjoukosta valitaan kaksi eri lukua x, niiden funktion arvojen täytyy aina olla erilaiset.

Graafisesti sen tunnistaa kuten aina aivan yksinkertaisesti. Jos kuvaajan läpi piirretään x-akselin suuntainen suora, sen täytyy leikata kuvaaja enintään yhdessä pisteessä. Esimerkki injektiivisestä funktiosta on lineaarinen funktio y = 3x. Minkä tahansa suoran valitsetkin, se leikkaa kuvaajan aina täsmälleen yhdessä pisteessä. Vastakohta on esimerkiksi sinifunktio, jonka kuvaaja muodostaa jonkinlaisia aaltoja, joten jos piirrät x-akselin suuntaisen suoran, joka leikkaa y-akselin pisteessä $\frac{1}{2}$, löydät kuvaajasta äärettömän monta leikkauspistettä, eli funktio ei ole injektiivinen.

Rajoitettu funktio

Funktiot voivat olla rajoitettuja, ja ne voivat olla ylhäältä rajoitettuja, alhaalta rajoitettuja tai sekä ylhäältä että alhaalta – tällaista funktiota kutsutaan yksinkertaisesti rajoitetuksi funktioksi. Funktio f on ylhäältä rajoitettu, jos löydämme sellaisen reaaliluvun A, joka on suurempi kuin kaikki funktion f arvot. Vastaavasti alhaalta rajoitetulle funktiolle. Määritelmät siis ovat:

• Funktio f on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa A ∈ ℝ siten, että kaikilla määrittelyjoukon alkioilla x pätee A > f(x).
• Funktio f on alhaalta rajoitettu, jos on olemassa A ∈ ℝ siten, että kaikilla määrittelyjoukon alkioilla x pätee A < f(x).

Graafisesti sen voi kuvitella niin, että etsimme x-akselin suuntaisen suoran (eli vaakasuoran suoran), joka on koko funktion kuvaajan yläpuolella tai alapuolella.

Kuvassa on funktion f(x) = x⁴ kuvaaja, ja funktio on alhaalta rajoitettu. Huomaa, että meidän ei lainkaan tarvitse löytää sellaista lukua A, joka on kuvaajaa ”lähimpänä”, riittää, että suora sijoitetaan mihin tahansa kuvaajan alapuolelle.

Minimi ja maksimi

Funktiolla f on määrittelyjoukon pisteessä M maksimi, jos funktion arvo on tässä pisteessä M suurin kaikista funktion arvoista. Vastaavasti minimille. Määritelmät:

• Funktiolla f on määrittelyjoukon pisteessä M globaali maksimi, jos kaikilla määrittelyjoukon alkioilla x pätee f(x) ≤ f(M) – lyhyesti sanottuna funktion arvo on suurin pisteessä M. Jos maksimi on olemassa vain yhdessä pisteessä, sitä kutsutaan aidoksi maksimiksi.
• Funktiolla f on määrittelyjoukon pisteessä m globaali minimi, jos kaikilla määrittelyjoukon alkioilla x pätee f(x) ≥ f(m) – funktion arvo on pienin pisteessä m.

Kuvaajasta funktion maksimin ja minimin löytää luultavasti melko helposti, katsot vain, missä funktio on alimmillaan tai ylimmillään. Funktiolla ei tietenkään tarvitse olla minimiä eikä maksimia, tai sillä voi olla vain minimi tai vain maksimi, ja samoin funktiolla voi olla vain paikallisia ääriarvoja mutta ei yhtään ääriarvoa koko määrittelyjoukossa.

Jos täytyy löytää minimit ja maksimit, käytä derivaattoja. Tarkka menetelmä on kuvattu artikkelissa funktion kulun tutkiminen.

Esimerkki

Määritä funktion ominaisuudet seuraavan kuvaajan perusteella:

• Tämän funktion määrittelyjoukko on väli [−4, 4].
• Arvojoukko on väli [−2, 4].
• Funktio näyttää siltä, että se voisi olla aidosti kasvava, mutta välillä [0, 2] funktion arvo on vakio, joten se ei voi olla aidosti kasvava. Funktio ei kuitenkaan vähene millään välillä, joten se on kasvava funktio.
• Funktion kuvaaja ei ole symmetrinen y-akselin eikä koordinaatiston origon suhteen, joten funktio ei ole parillinen eikä pariton.
• Onko funktio injektiivinen? On jo todettu, että välillä [0, 2] funktion arvo on vakio, joten funktio ei voi olla injektiivinen. Eri luvuille x on sama y.
• Funktio on rajoitettu sekä ylhäältä että alhaalta. Pystymme löytämään vaakasuoran suoran, joka on koko kuvaajan yläpuolella, ja toisen, joka on koko kuvaajan alapuolella.
• Annetulla funktiolla on myös minimi ja maksimi. Minimi on pisteessä m = −4 ja maksimi pisteessä M = 4.