Calculatrice : k-uplets avec répétition

Combien de codes PIN à quatre chiffres existe-t-il ? À chacune des quatre places, tu peux mettre n’importe lequel des dix chiffres, et les chiffres peuvent se répéter : 0000 ou 7737 sont donc possibles. C’est exactement ce que comptent les k-uplets avec répétition : le nombre de suites ordonnées de k éléments qu’on peut former avec n éléments, lorsque ces éléments peuvent se répéter et que l’ordre compte. Si les éléments ne peuvent pas se répéter, on parle d’arrangements.

Indique parmi combien de symboles tu choisis et quelle est la longueur de la chaîne que tu formes.

Comment cela se calcule

La calculatrice utilise la formule

$$n^k$$

À la première place du code PIN, on peut mettre n’importe lequel des dix chiffres. À chacun d’eux, on peut de nouveau associer n’importe lequel des dix à la deuxième place : cela fait 10 · 10 = 100 possibilités. Pour la troisième et la quatrième place, on multiplie encore deux fois :

$$10\cdot 10\cdot 10\cdot 10={10}^4=10000$$

Il y a donc dix mille codes PIN à quatre chiffres. Un voleur qui testerait un code par seconde les aurait tous essayés en 10 000 secondes au plus, soit environ 2,78 heures. C’est pourquoi la banque bloque ta carte après trois mauvais essais.

Avec des lettres, le nombre augmente beaucoup plus vite. Un mot de passe de huit lettres minuscules sans accents ni cédilles a 26⁸ possibilités, soit plus de 208 milliards. Pour savoir ce qui rend un mot de passe sûr, lis l’article sur la sécurité du mot de passe.