Équations du second degré

Une équation du second degré est une équation à une inconnue dans laquelle l’inconnue est élevée au carré. Si l’inconnue apparaît à une puissance supérieure à 2, il ne s’agit plus d’une équation du second degré.

Description de l’équation du second degré

La forme générale d’une équation du second degré est :

$a x^{2} + b x + c = 0$

Les nombres a, b et c sont des nombres réels, et a est différent de zéro. On utilise aussi les appellations suivantes :

ax² s’appelle le terme du second degré,
bx s’appelle le terme du premier degré,
c s’appelle le terme constant.

Toute équation du second degré peut être ramenée à cette forme à l’aide de transformations équivalentes ou d’autres transformations. Par exemple, l’équation suivante :

$3 x^{2} - 6 x + 8 = 0.$

Une question plus délicate : l’équation suivante est-elle du second degré ?

$(x + 1) \cdot (x + 2) = 7.$

On ne voit x² nulle part, et le membre de droite n’est pas nul. Le membre de droite se simplifie facilement : on soustrait 7, ce qui donne

$(x + 1) \cdot (x + 2) - 7 = 0.$

On n’a toujours pas de x². Développons les parenthèses, on obtient :

$x^{2} + 2 x + x + 2 - 7 = 0$

On a maintenant un x². Après réduction, on obtient enfin la forme générale de l’équation du second degré :

$x^{2} + 3 x - 5 = 0.$

Et l’exemple suivant : s’agit-il d’une équation du second degré ? Peut-on la ramener à la forme générale ?

$x^{2} + 3 x + \frac{4}{x} = 0$

La réponse est non. Si l’on multiplie toute l’équation par x pour se débarrasser du dénominateur de la fraction, on obtient :

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 = 0.$

Il y a maintenant un x³, ce qui ne peut pas figurer dans une équation du second degré.

Il existe des types particuliers d’équations du second degré, selon les valeurs des coefficients a, b et c.

Valeurs des coefficients

Pour la suite, il est absolument essentiel de savoir déterminer chacun des coefficients a, b et c. Commençons par un exemple simple. Déterminons les coefficients de l’équation 3x² + 4x + 7 = 0. Ici c’est facile : a = 3, b = 4 et c = 7.

Et l’équation 3x² − x + 2 = 0 ? Les valeurs de a et c sont claires, a = 3 et c = 2, mais qu’en est-il de b ? Ce serait une erreur d’écrire que b = 1. Imagine que devant ce x il y ait un 1, comme ceci : 3x² − 1x + 2 = 0. On voit maintenant plus clairement que b = −1.

Autre exemple intéressant : x² − 3 = 0. Là encore, le coefficient b peut poser problème, les autres étant évidents : a = 1 et c = −3. Quelle est la valeur de b ? Le terme du premier degré n’apparaît pas du tout dans cette équation ; c’est comme si l’on écrivait l’équation sous la forme x² + 0x − 3 = 0. Donc b = 0.

Exemple plus complexe :

$5 x^{2} + 3 x + π \cdot x = 0$

Cette équation contient deux pièges. Il n’y a pas de terme constant, donc c = 0. Le terme du second degré est clair, donc a = 5. Mais que vaut ce fameux b ? On peut encore transformer l’équation et mettre en facteur la variable x dans les deux termes :

$5 x^{2} + (3 + π) x = 0$

Le coefficient b est ce qui se trouve « devant » la variable x, donc la parenthèse entière est égale au coefficient b = (3 + π). Équation semblable :

$- x^{2} + 4 x + 1 - \sqrt{2} = 0$

Les deux premiers coefficients sont évidents : a = −1 et b = 4. Et le terme constant ? Ce sont les termes restants, qui ne contiennent pas x. Donc $c = 1 - \sqrt{2}$ . Ne crains pas la racine carrée : elle ne mord pas, c’est un nombre tout à fait normal.

Et quelles sont les valeurs pour cette équation ? (x + 1)(x + 2) = −2x. Il faut d’abord ramener l’équation à la forme générale. Développons les parenthèses, on obtient

$x^{2} + 3 x + 2 = - 2 x$

puis, pour avoir un zéro au membre de droite, ajoutons 2x aux deux membres :

$x^{2} + 5 x + 2 = 0.$

Les valeurs sont maintenant évidentes : a = 1, b = 5, c = 2.

Équation incomplète du second degré (b = 0)

Si b = 0, l’équation est une équation du second degré incomplète, que l’on résout de manière semblable à une équation du premier degré. Elle a donc la forme générale :

$a x^{2} + c = 0$

Comme b = 0, le terme bx disparaît de l’équation, puisque 0x = 0. On résout l’équation en commençant par soustraire le terme constant. On soustrait donc c aux deux membres. On obtient :

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + c & = & 0 / - c \\ a x^{2} & = & - c \end{array}$

On divise ensuite l’équation par a. On obtient :

$x^{2} = \frac{- c}{a}$

Enfin, on prend la racine carrée des deux membres. Il faut pour cela que la fraction du membre de droite ne soit pas négative, car on ne peut pas extraire la racine carrée d’un nombre négatif. On obtient le résultat :

$x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}}$

Remarque que l’on obtient deux résultats, l’un positif et l’autre négatif. Cela apparaîtra mieux sur un exemple. Résolvons l’équation

$2 x^{2} - 8 = 0.$

Comme précédemment, on commence par soustraire le terme c. Attention : ici c est négatif, donc soustraire un nombre négatif revient à ajouter un nombre positif. On ajoute donc +8 aux deux membres (le but est de faire passer le 8 au membre de droite). On obtient :

$2 x^{2} = 8$

Ensuite, on divise l’équation par a, qui vaut 2. On obtient :

$x^{2} = 4$

On prend maintenant la racine carrée.

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Pourquoi trouve-t-on aussi moins deux ? Parce que moins deux fois moins deux font quatre. On peut aussi regarder la résolution graphique : on voit que la courbe de la fonction 2x² − 8 coupe l’axe des abscisses exactement aux points x₁ = −2 et x₂ = 2.

Résolution graphique de l’équation 2x^2-8=0

Résous l’équation

$80 x^{2} - 5 = 0.$

On ajoute 5 aux deux membres :

$80 x^{2} = 5$

On divise par 80 :

$x^{2} = \frac{5}{80}$

On simplifie la fraction :

$x^{2} = \frac{1}{16}$

On prend la racine carrée :

$x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2} = - \frac{1}{4}$

Équation du second degré sans terme constant (c = 0)

Autre cas particulier, où le terme constant c est égal à zéro. L’équation a la forme générale :

$a x^{2} + b x = 0$

Ce type d’équation se résout en mettant en facteur l’inconnue :

$x (a x + b) = 0.$

Le résultat apparaît déjà assez clairement. L’équation a là encore deux racines, mais l’une d’elles est toujours égale à zéro. Le membre de gauche est en effet un produit de deux expressions : x et la parenthèse (ax + b). Quand ce produit est-il nul ? Lorsqu’au moins l’un des facteurs est nul. Le membre de gauche est donc nul dans deux cas :

$x = 0 ou a x + b = 0.$

La première solution est déjà connue : c’est zéro. On obtient la seconde en résolvant l’équation du premier degré ax + b = 0. Comme on l’a vu dans l’article sur les équations du premier degré, cette équation a exactement une solution, égale à :

$x = - \frac{b}{a}$

On peut donc écrire le résultat de l’équation du second degré ax² + bx = 0 :

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} .$

Exemple :

$6 x^{2} + 3 x = 0$

On met x en facteur :

$x (6 x + 3) = 0$

La première solution est x = 0. La seconde s’obtient en résolvant l’équation du premier degré 6x + 3 = 0 :

$x = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2} .$

On écrit le résultat :

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{2} .$

On peut là encore regarder la courbe de la fonction, qui coupe l’axe des abscisses exactement en ces points :

Courbe de la fonction 6x^2+3x

Autres méthodes de résolution

Ce sont là les techniques de base pour ces types particuliers d’équations du second degré. L’équation du second degré générale se résout à l’aide du discriminant. Parmi les autres types d’équations, on trouve l’équation du second degré à paramètre.

Calculatrice

Saisis les coefficients a, b et c de l’équation générale ax² + bx + c = 0, et la calculatrice calcule le discriminant ainsi que les racines.

Chapitres: Équations du second degré, Discriminant, Équation du second degré à paramètre, Équations du second degré à racines complexes

« Précédent: Équation du premier degré à paramètre

Suivant: Discriminant »