Discriminant

Le discriminant est un polynôme qui permet de calculer les solutions d’une équation du second degré quelconque, et de déterminer si cette équation admet des solutions et combien.

Formule et relations de base

Rappelons d’abord la forme générale de l’équation du second degré :

$$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$$

où a, b, c sont des nombres réels. Le discriminant, noté Δ, se calcule ainsi :

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Exemple : soit l’équation 3x² + 5x − 7 = 0. Ici, a = 3, b = 5, c = −7. Le discriminant vaut :

$$\mathrm{\Delta }=5^2-4\cdot 3\cdot (-7)=25+4\cdot 3\cdot 7=25+84=109$$

Le résultat est donc 109. Que nous dit ce nombre ? Si le discriminant est…

• strictement positif, alors l’équation a deux solutions réelles distinctes,
• nul, alors l’équation a deux solutions réelles égales,
• négatif, alors l’équation n’a aucune solution dans l’ensemble des nombres réels. Elle en a cependant dans l’ensemble des nombres complexes.

Calcul des racines de l’équation du second degré

Le discriminant permet de calculer directement les racines de l’équation. La formule est :

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a},$$

où Δ est le discriminant. Si l’on développe le discriminant, la formule devient :

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Essayons cette formule sur l’équation x² + 7x + 12 = 0. Calculons d’abord le discriminant :

$$\mathrm{\Delta }=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Le discriminant est strictement positif, l’équation a donc deux solutions réelles distinctes. Calculons la première racine : on ajoute d’abord la racine carrée du discriminant, puis on la soustrait dans la deuxième étape :

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac{6}{2}=-3.$$

La première racine vaut −3. Calculons la seconde en soustrayant la racine carrée :

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac{8}{2}=-4.$$

Nous avons maintenant les deux racines, x₁ = −3 et x₂ = −4.

Pour appliquer correctement cette méthode, il est indispensable de bien déterminer a, b et c. La manière de le faire est expliquée dans le premier article sur les équations du second degré.

Que signifie ce résultat sur le graphique ? Si l’on trace la courbe de la fonction située dans le membre de gauche de l’équation, on voit que cette courbe coupe l’axe des abscisses en deux points, les points d’abscisses x₁ = −3 et x₂ = −4.

Discriminant nul

Si le discriminant vaut zéro, l’équation n’a qu’une seule solution, ou plutôt deux solutions identiques. Exemple : résolvons x² − 10x + 25 = 0. Calculons le discriminant :

$$\mathrm{\Delta }=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0.$$

Calculons la racine à l’aide de la formule, comme dans la section précédente. Comme le discriminant est nul, le signe plus ou moins devant la racine carrée de Δ disparaît, car on ajouterait ou soustrairait zéro.

$$x_{1,2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

On obtient une racine double, x = 5. Graphiquement, cela signifie que la courbe de la fonction ne touche l’axe des abscisses qu’en un seul point, son sommet.

Discriminant négatif

Si le discriminant est négatif, l’équation n’a pas de solution dans l’ensemble des nombres réels. On peut la résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, mais ce sera l’objet d’un prochain article. Essayons avec l’équation x² + x + 1 = 0. Calculons le discriminant :

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.$$

L’équation n’a donc pas de solution réelle. Tu peux le vérifier : le polynôme x² + x + 1 est strictement positif pour tous les nombres réels. Par exemple, si tu remplaces x par 1, tu obtiens 1 + 1 + 1 = 3. Pour x = −1, on a 1 − 1 + 1 = 1. Pour x = 0, on a 0 + 0 + 1 = 1, et ainsi de suite pour les autres nombres. Tu peux aussi regarder la courbe de la fonction y = x² + x + 1 : elle ne coupe jamais l’axe des abscisses.

Relations entre coefficients et racines

On sait déjà calculer les solutions d’une équation du second degré. Quel est le lien entre elles ? Essayons d’additionner les deux racines x₁ et x₂ :

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Si l’on additionne les racines de l’équation ax² + bx + c = 0, on obtient le quotient −b/a. Que se passe-t-il si l’on multiplie les racines ?

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }}-b\cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }}-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Si l’on multiplie les racines, on obtient donc le nombre c/a. Ce sont les relations entre coefficients et racines, aussi appelées formules de Viète. Une fois encore, réunies :

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Remarque que le dénominateur de la fraction est toujours a. Un cas particulier est l’équation pour laquelle a = 1. Les relations s’écrivent alors :

$$\begin{array}{r}\text{si }a=1:\\ x_1+x_2& =& -b\\ x_1\cdot x_2& =& c\end{array}$$

On peut en tirer parti pour chercher les solutions d’une équation du second degré. Plutôt que de calculer le discriminant, on peut chercher des nombres x₁ et x₂ qui vérifient les relations ci-dessus. Exemple : détermine les solutions de l’équation x² + 8x + 15 = 0. Comme a = 1, on peut utiliser les relations simplifiées. On cherche x₁ et x₂ tels que :

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -8\\ x_1\cdot x_2& =& 15\end{array}$$

Si l’on se limite aux nombres entiers, il existe quatre façons d’obtenir 15 comme produit :

$$\begin{array}{rcl}1\cdot 15& =& 15\\ 3\cdot 5& =& 15\\ -3\cdot (-5)& =& 15\\ -1\cdot (-15)& =& 15\end{array}$$

Il faut maintenant que la somme des deux nombres donne −8. Une seule paire donne cette somme : −3 et −5. Ce sont donc les solutions de l’équation. Tu peux les remplacer dans l’équation pour vérifier : on doit obtenir zéro :

$$\begin{array}{rcl}(x=-3):& & (-3{)}^2+8\cdot (-3)+15=9-24+15=0\\ (x=-5):& & (-5{)}^2+8\cdot (-5)+15=25-40+15=0\end{array}$$

Ça marche. Si l’on connaît les racines, on peut écrire l’équation sous une forme plus lisible. Si x₁ et x₂ sont les racines de ax² + bx + c = 0, alors, lorsque a = 1, on peut écrire l’équation sous la forme

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Ainsi, l’équation précédente s’écrit :

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$