Triangle rectangle

Un triangle rectangle a un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90 degrés. Ce triangle possède plusieurs propriétés intéressantes, dont il sera question dans cet article.

Description de base

Le triangle rectangle a déjà été en partie décrit dans l’article principal sur les triangles. Un triangle rectangle a un angle intérieur de 90 degrés. Les deux autres angles intérieurs sont forcément plus petits que 90 degrés, car sinon la somme des angles intérieurs ne serait pas égale à 180 degrés. Mieux encore, la somme des deux autres angles vaut exactement 90 degrés.

Un triangle rectangle a bien sûr trois côtés. Deux d’entre eux sont les côtés de l’angle droit (les côtés rouges), ce sont les plus petits, et le troisième s’appelle l’hypoténuse (le côté bleu) – c’est le plus long côté. L’hypoténuse est toujours en face du sommet où se trouve l’angle droit.

Théorème de Pythagore

C’est sans doute le plus célèbre théorème de mathématiques, le théorème de Pythagore, et il est valable justement dans le triangle rectangle. Il porte sur les longueurs des côtés du triangle. Il dit que « dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ». En écriture mathématique, pour notre triangle, dans lequel l’hypoténuse est le côté a :

$$a^2=b^2+c^2$$

Le théorème de Pythagore en image, cette fois avec la notation habituelle où l’hypoténuse est c : Un article à part est consacré à ce théorème.

Aire d’un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, l’aire se calcule très facilement, car les hauteurs sont confondues avec les côtés de l’angle droit. Imagine le triangle rectangle de la première figure. Comment calculerions-nous son aire sans connaître de hauteur ? On peut compléter le triangle pour obtenir un rectangle. Les côtés du rectangle sont formés par les côtés de l’angle droit du triangle, et on ajoute les deux autres côtés pour que ce soit vraiment un rectangle : Nous savons déjà calculer l’aire d’un rectangle : c’est le produit des longueurs de deux côtés consécutifs, ici le produit des côtés rouges AC et AB. Cela nous donne l’aire du rectangle. Or l’hypoténuse BC est une diagonale du rectangle, qui le partage en deux moitiés égales. Si on divise l’aire du rectangle par deux, on obtient donc l’aire du triangle rectangle. La formule est donc :

$$\mathcal{A}=\frac{b\cdot c}{2},$$

où b et c sont les longueurs des côtés de l’angle droit.

Fonctions trigonométriques sinus et cosinus

Dans un triangle rectangle, les fonctions trigonométriques de base et leurs relations s’appliquent. Les fonctions trigonométriques comme le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente expriment un rapport entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Reprenons le premier triangle, cette fois avec les angles mis en évidence.

Si on veut connaître le rapport des longueurs de deux côtés, on prend les deux longueurs et on les divise dans l’ordre indiqué. Par exemple, le rapport des longueurs des côtés b : c (on lit « b sur c ») s’obtient en calculant 3/5 (le côté b mesure 3 et le côté c mesure 5).

La fonction sinus utilise le rapport de deux côtés et un angle. Pour notre figure : si on prend le rapport des côtés b : a, on obtient la valeur du sinus de l’angle β. Le cosinus fonctionne de façon semblable, mais pour le rapport c : a et le même angle β. On a donc :

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Les fonctions sinus et cosinus s’utilisent toujours avec les angles du triangle rectangle qui sont inférieurs à 90 degrés. Ici, ce sont les angles β et γ. Dans ce domaine, le sinus et le cosinus donnent toujours un nombre dans l’intervalle ]0 ; 1[. Tu peux donc retenir la règle suivante : on divise toujours le côté le plus court par le côté le plus long, pour obtenir justement un nombre de l’intervalle ]0 ; 1[.

Ces deux fonctions utilisent en même temps un côté de l’angle droit et l’hypoténuse, jamais les deux côtés de l’angle droit à la fois. Comme on divise toujours le plus court par le plus long, l’hypoténuse est toujours au dénominateur de la fraction. Regarde les formules au-dessus de ce paragraphe : au dénominateur, il y a toujours a, qui est l’hypoténuse du triangle.

Dernière règle : le sinus utilise le côté opposé, alors que le cosinus utilise le côté adjacent. Qu’est-ce que cela signifie ? Si on considère l’angle β, le côté adjacent est le côté de l’angle droit qui part du point B, c’est-à-dire le côté c. Le côté opposé est l’autre côté de l’angle droit, le côté b. C’est pourquoi, dans la formule, on a le côté b pour le sinus et le côté c pour le cosinus.

En résumé : le sinus donne le rapport du côté opposé à l’hypoténuse, le cosinus le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse. Comment peut-on s’en servir ? Si tu connais les angles du triangle et la longueur de l’hypoténuse ou d’un côté de l’angle droit, tu peux calculer les longueurs des autres côtés. Exemple :

Pour le triangle précédent, on a :

$$AC=b=3,AB=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Quelle est la longueur du côté a ? On sait que :

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

On connaît la valeur du sinus, on connaît aussi la longueur du côté b, et on cherche la longueur du côté a. On isole a à l’aide de transformations équivalentes :

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(On a d’abord multiplié l’équation par a, puis on l’a divisée par le sinus.) Dans le membre de droite, il n’y a plus que des valeurs connues, donc on remplace. On calcule la valeur du sinus à la calculatrice.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Le côté a mesure 5,83. Quand tu calcules un sinus à la calculatrice, fais attention à ce qu’elle soit en mode degrés. Le problème vient souvent du fait qu’on calcule en radians, qui sont une autre unité d’angle. On dispose toutefois de la relation de conversion :

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

où deg est ta valeur en degrés.

Fonctions trigonométriques tangente et cotangente

Dans un triangle rectangle, on peut aussi utiliser facilement ces deux fonctions. Là encore, on travaille toujours avec des angles inférieurs à 90 degrés. Mais contrairement au sinus et au cosinus, ces fonctions n’utilisent pas l’hypoténuse du triangle, seulement les côtés de l’angle droit. La tangente d’un angle est égale au rapport du côté opposé au côté adjacent, et la cotangente au rapport du côté adjacent au côté opposé.

Pour le triangle précédent, on a donc :

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Essayons de calculer, dans le triangle précédent, la longueur du côté AC (le côté b) à l’aide de l’angle β. Sa mesure est connue grâce à l’exemple précédent. On sait que :

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

On isole le côté b :

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(On a simplement multiplié l’équation par c et échangé les deux membres.) Nous avons maintenant tout ce qu’il faut pour calculer la longueur du côté b. On remplace :

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30,96)=5\cdot 0,6=3$$

On voit déjà sur la figure que nous avons obtenu le bon résultat. Attention encore une fois : dans la formule, la tangente est calculée avec une valeur en degrés, alors que la calculatrice peut demander un angle en radians.

Pour illustrer, on peut calculer le même côté à l’aide de la cotangente :

$$\begin{array}{rcl}\cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \cot (\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\cot (\beta )}\end{array}$$

On remplace les valeurs :

$$b=\frac{5}{\cot (30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Là encore, nous obtenons le bon résultat.