Fonctions trigonométriques

Dans cet article, nous allons étudier les fonctions trigonométriques (on parle parfois aussi de goniométrie). Le mot « goniométrie » vient du grec et signifie mesure des angles ; le grec « trigônon » signifie triangle. On connaît quatre fonctions trigonométriques de base : le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente.

Notions de base sur le triangle

Les fonctions trigonométriques travaillent avec les angles d'un triangle, c'est pourquoi nous rappelons dans cette partie les notions liées au triangle.

On voit sur la figure un triangle formé des sommets A, B et C ; il s'agit donc du triangle ABC. On y trouve trois côtés : AB, BC et AC. Remarque que ces côtés sont aussi désignés par des lettres minuscules. Cette désignation suit une règle : le côté opposé au sommet A est noté a, le côté opposé au sommet B est b, et le côté opposé au sommet C est c. À chaque sommet correspond donc le côté opposé, c'est-à-dire le côté qui ne contient pas ce sommet.

Chaque triangle possède trois angles intérieurs, que l'on note généralement par les lettres grecques alpha α, bêta β et gamma γ. La somme des trois angles intérieurs vaut toujours 180°. Au sommet A se trouve en général l'angle alpha, en B l'angle bêta et en C l'angle gamma.

Bien qu'on puisse utiliser les fonctions trigonométriques dans n'importe quel triangle, on travaille souvent uniquement avec le triangle rectangle. Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c'est-à-dire de 90°. Il ressemble par exemple à ceci :

Le triangle rectangle a des côtés aux noms particuliers. Le plus long côté se trouve en face de l'angle droit et s'appelle l'hypoténuse (côté bleu sur la figure). Les deux autres côtés, plus courts, s'appellent les côtés de l'angle droit (côtés rouges). C'est ce triangle qui nous intéressera le plus dans cet article.

Désignation des côtés de l'angle droit

Passons à la première fonction trigonométrique, le sinus. Toutes les fonctions trigonométriques relient un angle du triangle à un rapport de longueurs de deux côtés. En général, il ne s'agit pas de l'angle droit, mais des deux autres angles. L'entrée de la fonction est donc la mesure d'un angle, et sa sortie est le rapport de deux côtés. Les fonctions se distinguent par les côtés avec lesquels elles travaillent.

La fonction sinus utilise le côté opposé et l'hypoténuse. La figure suivante montre ce que sont le côté adjacent et le côté opposé par rapport à un angle donné.

Sur la figure, on travaille avec l'angle bêta, c'est-à-dire l'angle au sommet B. Le côté noir est l'hypoténuse ; celui-ci ne change pas. Le côté c, en rouge, est le côté adjacent, car il touche l'angle bêta. Le côté b, en bleu, est le côté opposé, car il se trouve en face de l'angle bêta. L'important est que ces notions se rapportent toujours à un angle. Si l'on regarde la figure du point de vue de l'angle gamma, on obtient ce résultat :

La fonction sinus

Le sinus de l'angle alpha est égal au rapport de la longueur du côté opposé à la longueur de l'hypoténuse. Qu'est-ce que cela signifie ? Si l'on calcule (par exemple à la calculatrice) le sinus de l'angle alpha, on obtient la valeur du quotient

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Longueur du côté opposé}}{\text{Longueur de l’hypoténuse}}$$

Essayons cela sur ce triangle et l'angle bêta : C'est un joli triangle, dont les longueurs des côtés sont : |a| = 5, |b| = 3 et |c| = 4. Le côté opposé à l'angle bêta est le côté b, et l'hypoténuse est le côté a. On calcule le quotient b/a, soit 3/5, ce qui vaut 0,6. Le sinus de l'angle bêta vaut donc 0,6. L'angle bêta mesure 36° 52′ ; si l'on saisit cet angle dans la calculatrice et qu'on calcule son sinus, on obtient précisément 0,6 (après un léger arrondi).

À quoi cela sert

Cela est utile lorsque l'on connaît un angle et la longueur d'un côté, et qu'il faut calculer les autres côtés.

On écrit d'abord ce que l'on sait. On connaît l'angle alpha. On sait que le sinus de cet angle est égal au rapport du côté opposé (c'est le côté a) sur l'hypoténuse (le côté b). Écrit mathématiquement :

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

On connaît le sinus de l'angle, ou plutôt on peut le calculer, et on connaît la longueur du côté a. La seule inconnue est la longueur du côté b. On va donc chercher à isoler cette variable. On commence par multiplier l'équation par la longueur du côté b. On obtient

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

Il suffit ensuite de diviser l'équation par sin(α) pour obtenir la forme recherchée, avec la longueur du côté b à gauche :

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

La longueur du côté a est connue : elle vaut trois. Le sinus de trente degrés vaut un demi. On remplace :

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Le côté b mesure donc six.

La fonction cosinus

Le cosinus ressemble beaucoup au sinus. La terminologie est la même que dans la partie précédente, passons donc à la définition :

Le cosinus de l'angle alpha est égal au rapport de la longueur du côté adjacent sur la longueur de l'hypoténuse. Ainsi, si l'on calcule à la calculatrice le cosinus de l'angle alpha, on obtient la valeur du quotient

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{longueur du côté adjacent}}{\text{longueur de l’hypoténuse}}.$$

La figure suivante présente clairement la différence entre le sinus et le cosinus :

Les deux fonctions utilisent l'hypoténuse, qui reste en noir. Le sinus utilise le côté opposé, c'est-à-dire, par rapport à l'angle alpha, le côté rouge BC. Le cosinus utilise le côté adjacent, c'est-à-dire le côté bleu AB.

Revenons à l'exemple du chapitre précédent. Nous devions calculer la longueur de l'hypoténuse lorsque nous connaissions la longueur du côté a. Calculons maintenant la longueur du côté c, en connaissant l'angle alpha et la longueur de l'hypoténuse que nous venons de calculer, soit b = 6.

Que savons-nous ? L'angle alpha mesure 30°, la longueur du côté b vaut six, et le cosinus donne le rapport du côté adjacent sur l'hypoténuse. Le côté adjacent est le côté c, c'est-à-dire le côté dont on veut connaître la longueur. Écrivons :

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Il faut isoler |c|. Pour cela, on multiplie l'équation par la longueur du côté b ; il ne reste alors à droite que la longueur du côté c :

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Il suffit d'inverser les membres :

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

À droite, les expressions sont connues ou peuvent être calculées. Le cosinus de trente degrés vaut environ 0,866. On remplace dans l'équation :

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

C'est la longueur du côté c. Comme nous le verrons plus loin, le cosinus de trente degrés est une valeur remarquable, égale à :

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

on peut donc préciser la longueur précédente :

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

La tangente et la cotangente

Il existe encore deux autres fonctions trigonométriques : la tangente et la cotangente. La principale différence avec les précédentes est que la tangente et la cotangente n'utilisent que les côtés de l'angle droit, et non l'hypoténuse.

La tangente de l'angle alpha est égale au rapport de la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent. On note généralement la tangente tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Longueur du côté opposé}}{\text{Longueur du côté adjacent}}$$

La cotangente de l'angle alpha est égale au rapport de la longueur du côté adjacent sur la longueur du côté opposé. On note généralement la cotangente cot ou cotan.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Longueur du côté adjacent}}{\text{Longueur du côté opposé}}$$

La terminologie est à nouveau la même que dans les parties précédentes, et le travail avec ces fonctions reste identique. Reprenons l'exemple précédent et calculons la longueur du côté c à partir seulement de la mesure de l'angle alpha et de la longueur du côté a, qui vaut a = 3.

La tangente est le rapport du côté opposé sur le côté adjacent ; mathématiquement, cela s'écrit :

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Il faut calculer la longueur du côté c, il faut donc isoler |c| dans cette équation. On multiplie par |c| puis on divise par tan(α), comme dans les exemples précédents.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

On remplace à droite, où la tangente de trente degrés vaut environ 0,5773 :

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

Pour la tangente de trente degrés, il existe une valeur remarquable :

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

on peut donc effectuer le calcul précédent de façon exacte :

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Valeurs remarquables

Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente prennent des valeurs simples pour certains angles remarquables. En voici le tableau récapitulatif :

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Liens

Notions liées sur ce site :

• Angle orienté
• Radian