Másodfokú egyenletek

A másodfokú egyenlet olyan egyenlet, amelyben egy ismeretlen szerepel, és az másodikra van emelve. Ha az egyenletben az ismeretlen a másodiknál magasabb hatványon szerepel, akkor már nem másodfokú egyenletről van szó.

A másodfokú egyenlet leírása

A másodfokú egyenlet alapalakja a következő:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Az a, b, c valós számok, és az a nem lehet nulla. További elnevezések:

az ax² a másodfokú tag,
a bx az elsőfokú tag,
a c a konstans tag.

Minden másodfokú egyenletet alapalakra hozhatunk ekvivalens átalakításokkal vagy más átalakításokkal. Másodfokú egyenlet például ez:

$3 x^{2} - 6 x + 8 = 0.$

Nehezebb kérdés, hogy másodfokú egyenlet-e ez is:

$(x + 1) \cdot (x + 2) = 7.$

Sehol sem látszik x², és a jobb oldalon nem nulla áll. A jobb oldallal könnyen elbánunk: kivonunk belőle hetet, és az alak ez lesz:

$(x + 1) \cdot (x + 2) - 7 = 0.$

Még mindig nincs benne x². Felbontjuk a zárójeleket, és ezt kapjuk:

$x^{2} + 2 x + x + 2 - 7 = 0$

Most már van benne x². Összevonás után végre megkapjuk a másodfokú egyenlet alapalakját:

$x^{2} + 3 x - 5 = 0.$

Mi a helyzet a következő példával, másodfokú egyenlet-e? Át lehet alakítani alapalakra?

$x^{2} + 3 x + \frac{4}{x} = 0$

A válasz az, hogy nem. Ha ugyanis az egész egyenletet megszorozzuk az x változóval, hogy megszabaduljunk a tört nevezőjében álló változótól, ezt kapjuk:

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 = 0.$

Most már van benne x³, ami másodfokú egyenletben nem lehet.

Léteznek speciális típusú másodfokú egyenletek attól függően, hogy milyen értékű az a, a b és a c együttható.

Az együtthatók értéke

A következő fejezetekhez kulcsfontosságú, hogy az a, b és c együtthatókat helyesen meg tudd határozni. Kezdjük egy egyszerű példával. Határozd meg az együtthatókat a 3x² + 4x + 7 = 0 egyenletben. Ez egyszerű: a = 3, b = 4 és c = 7.

Mi a helyzet például a 3x² − x + 2 = 0 egyenlettel? Az a és a c értéke egyértelmű, a = 3 és c = 2, de mi lesz a b-vel? Hiba lenne azt írni, hogy b = 1. Képzeld el, hogy az x előtt egy egyes áll, így: 3x² − 1x + 2 = 0. Most már jobban látszik, hogy b = −1.

Egy másik érdekes példa: x² − 3 = 0. Itt megint a b együtthatóval lehet gond, a többi nyilvánvaló: a = 1 és c = −3. Mennyi a b együttható értéke? Az elsőfokú tag ebben az egyenletben egyáltalán nem szerepel, ez ugyanaz, mintha az egyenletet x² + 0x − 3 = 0 alakban írtuk volna fel. Tehát b = 0.

Egy bonyolultabb példa:

$5 x^{2} + 3 x + π \cdot x = 0$

Ebben az egyenletben két csapda is van. Nincs benne konstans tag, tehát c = 0. A másodfokú tag egyértelmű, tehát a = 5. De mi a helyzet azzal az átkozott b-vel? Az egyenletet még egy kicsit átalakíthatjuk: két tagból kiemeljük az x változót így:

$5 x^{2} + (3 + π) x = 0$

A b együttható megint az, ami az x változó „előtt” áll, tehát a teljes zárójel a b = (3 + π) együttható. Egy hasonló egyenlet:

$- x^{2} + 4 x + 1 - \sqrt{2} = 0$

Az első két együttható nyilvánvaló: a = −1 és b = 4. Mi a konstans tag? Az a többi kifejezés, amelyben nincs x. Tehát $c = 1 - \sqrt{2}$ . Ne félj a gyöktől, nem harap, ez is egy normális szám.

És mik az együtthatók ebben az egyenletben? (x + 1)(x + 2) = −2x. Először az egyenletet alapalakra kell hoznunk. Felbontjuk a zárójeleket, és ezt kapjuk:

$x^{2} + 3 x + 2 = - 2 x$

végül az egyenlethez hozzáadunk 2x-et, hogy a jobb oldalon nullát kapjunk:

$x^{2} + 5 x + 2 = 0.$

Az értékek már nyilvánvalóak: a = 1, b = 5, c = 2.

Tiszta másodfokú egyenlet

Ha b = 0, akkor tiszta másodfokú egyenletről van szó, amelyet hasonlóan oldunk meg, mint az elsőfokú egyenletet. Ennek az egyenletnek tehát az alapalakja:

$a x^{2} + c = 0$

Mivel b = 0, az elsőfokú bx tag teljesen kiesik az egyenletből, hiszen 0x = 0. Az egyenletet úgy oldjuk meg, hogy először kivonjuk a konstans tagot, vagyis az egyenletből kivonjuk a c értékét. Így ezt kapjuk:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + c & = & 0 / - c \\ a x^{2} & = & - c \end{array}$

Ezután az egyenletet elosztjuk az a számmal. Ezt az alakot kapjuk:

$x^{2} = \frac{- c}{a}$

Végül az egész egyenletből gyököt vonunk. Közben teljesülnie kell annak, hogy a jobb oldali tört nem lehet negatív, mert negatív számból nem lehet gyököt vonni. Ezt az eredményt kapjuk:

$x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}}$

Figyeld meg, hogy két eredményt kapunk, egy pozitívat és egy negatívat. Ez egy példán jobban látszik. Oldjuk meg az egyenletet:

$2 x^{2} - 8 = 0.$

Az eljárás szerint először kivonjuk a c tagot. Vigyázz, a c tag ebben az esetben negatív, tehát negatív számot vonunk ki, vagyis pozitívat adunk hozzá. Az egész egyenlethez tehát hozzáadunk +8-at (a cél az, hogy a nyolcas a jobb oldalra kerüljön). Ezt az alakot kapjuk:

$2 x^{2} = 8$

Ezután az eljárás szerint elosztjuk az egyenletet az a számmal, ami a kettő. Osztás után ezt kapjuk:

$x^{2} = 4$

Most gyököt vonunk.

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Miért szerepel ott a mínusz kettő is? Mert mínusz kettő szorozva mínusz kettővel négy. Megnézhetjük a grafikus megoldást is: látjuk, hogy a 2x² − 8 függvény grafikonja pontosan az x₁ = −2 és x₂ = 2 pontban metszi az x tengelyt.

A 2x^2-8=0 egyenlet grafikus megoldása

Oldd meg az egyenletet:

$80 x^{2} - 5 = 0.$

Az egyenlethez hozzáadunk ötöt:

$80 x^{2} = 5$

Elosztjuk nyolcvannal:

$x^{2} = \frac{5}{80}$

Egyszerűsítjük a törtet:

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Gyököt vonunk:

$x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2} = - \frac{1}{4}$

Konstans tag nélküli másodfokú egyenlet

A másodfokú egyenlet másik különleges esete az, amikor a c konstans tag nulla. Az egyenlet alapalakja:

$a x^{2} + b x = 0$

Ezt a típusú egyenletet az ismeretlen kiemelésével oldjuk meg:

$x (a x + b) = 0.$

Itt már elég világosan látszik az eredmény. Ismét két gyöke lesz az egyenletnek, de az egyik mindig nulla. A bal oldalt ugyanis két kifejezés szorzataként kaptuk meg: az x és az (ax + b) zárójel szorzataként. Mikor nulla ez a szorzat? Ha legalább az egyik kifejezés nulla. A bal oldal tehát két esetben nulla:

$x = 0 vagy a x + b = 0.$

Az egyenlet első megoldása így már megvan, ez a nulla. A másikat megkapjuk, ha megoldjuk az ax + b = 0 elsőfokú egyenletet. Az elsőfokú egyenletekről szóló cikkből tudjuk, hogy ennek az egyenletnek pontosan egy megoldása van, amely egyenlő:

$x = - \frac{b}{a}$

Fel is írhatjuk tehát az ax² + bx = 0 másodfokú egyenlet megoldását:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} .$

Példa:

$6 x^{2} + 3 x = 0$

Kiemeljük az x-et:

$x (6 x + 3) = 0$

Az első megoldás x = 0. A másodikat a 6x + 3 = 0 elsőfokú egyenlet megoldásával kapjuk:

$x = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2} .$

Felírjuk az eredményt:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{2} .$

Ismét megnézhetjük a függvény grafikonját, amely pontosan ezekben a pontokban metszi az x tengelyt:

A 6x^2+3x függvény grafikonja

További megoldási módszerek

Ezek a másodfokú egyenletek speciális típusainak alapvető megoldási módszerei voltak. Az általános másodfokú egyenletet a diszkrimináns segítségével oldjuk meg. A további egyenlettípusok közé tartozik a paraméteres másodfokú egyenlet is.

Számológép

Add meg az általános ax² + bx + c = 0 egyenlet a, b és c együtthatóit, a számológép kiszámítja a diszkriminánst és a gyököket. Önállóan is megtalálod a másodfokú egyenlet számológépét.

Fejezetek: Másodfokú egyenletek, Diszkrimináns, Paraméteres, A komplex számok halmazán

« Előző: Paraméteres

Következő: Diszkrimináns »