Derékszögű háromszög

A derékszögű háromszögnek egyik belső szöge derékszög, vagyis 90 fokos. Ennek a háromszögnek több érdekes tulajdonsága van, erről szól ez a cikk.

Alapvető leírás

A derékszögű háromszöget részben már leírtuk a háromszögekről szóló fő cikkben. A derékszögű háromszög egyik belső szöge 90 fokos. A másik két belső szög szükségszerűen 90 foknál kisebb, mert különben a belső szögek összege nem lenne 180 fok. Sőt, a másik két szög összege éppen 90 fok.

A derékszögű háromszögnek természetesen három oldala van. Kettőt közülük befogónak nevezünk (a piros oldalak), ezek a rövidebb oldalak, a harmadik oldal az átfogó (a kék oldal) – ez a leghosszabb oldal. Az átfogó mindig a derékszögű csúccsal szemben van.

Pitagorasz-tétel

Talán a leghíresebb matematikai tétel, a Pitagorasz-tétel éppen a derékszögű háromszögben érvényes. A Pitagorasz-tétel a háromszög oldalainak hosszáról szól. A tétel azt mondja: „A derékszögű háromszög átfogója fölé emelt négyzet területe egyenlő a befogói fölé emelt négyzetek területének összegével.” Matematikailag leírva a mi háromszögünkre, amelynek átfogója az a oldal:

$$a^2=b^2+c^2$$

A Pitagorasz-tétel ábrán, ezúttal a szokásos jelöléssel, ahol az átfogó c: A tétellel külön cikk foglalkozik.

A derékszögű háromszög területe

A derékszögű háromszög területét nagyon egyszerűen kiszámíthatjuk, mert a magasságai egybeesnek a befogókkal. Képzeld el az első ábrán látható derékszögű háromszöget. Hogyan számolnánk ki a területét, ha nem ismernénk egyetlen magasságot sem? A háromszöget kiegészíthetjük úgy, hogy téglalap legyen belőle. A téglalap oldalait a háromszög befogói alkotják, a másik két oldalt pedig úgy egészítjük ki, hogy valóban téglalap keletkezzen: A téglalap területét már tudjuk kiszámítani: két szomszédos oldal hosszának szorzata, esetünkben a piros AC és AB oldalak szorzata. Így megkapjuk a téglalap területét. Az átfogó, a BC viszont a téglalap átlója, amely a téglalapot kettévágja, tehát ha a téglalap területét elosztjuk kettővel, a derékszögű háromszög területét kapjuk. A képlet tehát így néz ki:

$$T_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

ahol b és c a befogók hossza.

A szinusz és a koszinusz

A derékszögű háromszögben érvényesek az alapvető szögfüggvények és összefüggéseik. A szögfüggvények, vagyis a szinusz, a koszinusz, a tangens és a kotangens a derékszögű háromszög oldalainak hosszai közötti arányt fejezik ki. Vegyük megint segítségül az első háromszöget, ezúttal kiemelt szögekkel.

Ha két oldal hosszának arányát akarjuk megtudni, vesszük a két hosszat, és a megadott sorrendben elosztjuk őket. Például a b:c arányt (úgy olvassuk: „bé a céhez”) a 3/5 osztással kapjuk (a b oldal hossza 3, a c oldalé 5).

A szinusz függvény két oldal arányával és egy szöggel dolgozik. Az ábránkra vonatkozóan a következő igaz: ha a b:a oldalarányt vesszük, megkapjuk a szinusz függvény értékét a β szögre alkalmazva. A koszinusz hasonlóan működik, csak a c:a aránnyal és ugyanazzal a β szöggel. Tehát:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

A szinusz és a koszinusz függvény mindig csak a derékszögű háromszögnek azokkal a szögeivel dolgozik, amelyek kisebbek 90 foknál. Ebben az esetben a β és a γ szöggel. Ebben a tartományban a szinusz és a koszinusz mindig a ]0; 1[ intervallumba eső számot ad, ezért megjegyezheted a szabályt, hogy mindig a rövidebb oldalt osztod a hosszabbal – hogy éppen a ]0; 1[ intervallumból kapj számot.

Mindkét függvény egy befogóval és az átfogóval dolgozik, sosem két befogóval egyszerre. Mivel mindig a rövidebbet osztod a hosszabbal, az átfogó mindig a tört nevezőjében áll. Ha megnézed az előző bekezdés fölötti képleteket, a nevezőben mindig a áll, az pedig a háromszög átfogója.

Az utolsó szabály, hogy a szinusz a szöggel szemközti befogóval dolgozik, a koszinusz pedig a szög melletti befogóval. Mit jelent ez? Ha a β szöget nézzük, akkor a mellette lévő befogó az, amelyik a B pontból indul ki, vagyis a c befogó. A szemközti a másik befogó, a b. Ezért áll a szinusz képletében a b oldal, a koszinuszéban pedig a c oldal.

Összefoglalva: a szinusz a szemközti befogó és az átfogó arányát adja, a koszinusz a melletti befogó és az átfogó arányát. Hogyan használhatjuk ezt ki? Ha ismered a háromszög szögeit és az átfogó vagy egy befogó hosszát, kiszámíthatjuk a többi oldal hosszát. Példa:

Az előző háromszögben:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Mekkora az a oldal hossza? Tudjuk, hogy:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

A szinusz értékét ismerjük, a b oldal hosszát is, az a oldal hosszát keressük. Az a-t ekvivalens átalakításokkal fejezzük ki:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Először megszoroztuk az egyenletet a-val, majd elosztottuk a szinusszal.) A jobb oldalon már csupa ismert érték áll, tehát behelyettesítünk. A szinusz értékét zsebszámológéppel számoljuk ki.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Az a oldal hossza 5,83. Ha a szinuszt zsebszámológéppel számolod, ügyelj rá, hogy fokmódban legyen. Gyakran az a gond, hogy radiánban számolsz, ami másik szögmérték. Érvényes viszont az átváltási összefüggés:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot fok,$$

ahol fok a fokban megadott értéked.

A tangens és a kotangens

A derékszögű háromszögben könnyen használható ez a két függvény is. Itt is érvényes, hogy mindig 90 foknál kisebb szögekkel dolgozunk. A szinusztól és a koszinusztól eltérően ezek a függvények nem az átfogóval, hanem csak a befogókkal dolgoznak. A szög tangense a szemközti és a melletti befogó aránya, a kotangens pedig a melletti és a szemközti befogó aránya.

Az előző háromszögre tehát:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \mathrm{ctg}(\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Próbáljuk meg az előző háromszögben kiszámítani az AC oldal (b oldal) hosszát a β szög segítségével. Ennek nagyságát az előző példából ismerjük. Tudjuk, hogy:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{b}{c}$$

Fejezzük ki a b oldalt:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \mathrm{tg}(\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \mathrm{tg}(\beta )\end{array}$$

(Az egyenletet csak megszoroztuk c-vel, és felcseréltük az oldalakat.) Most már mindent tudunk, ami a b oldal hosszának kiszámításához kell. Behelyettesítünk:

$$b=c\cdot \mathrm{tg}(\beta )=5\cdot \mathrm{tg}(30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Már az ábráról is látjuk, hogy helyes megoldást kaptunk. Csak ismét vigyázz: a képletben a tangensben fokban megadott érték áll, miközben a zsebszámológép radiánban kérheti a szöget.

Szemléltetésként ugyanezt az oldalt kiszámíthatjuk a kotangens segítségével is:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{ctg}(\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \mathrm{ctg}(\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\mathrm{ctg}(\beta )}\end{array}$$

Behelyettesítjük az értékeket:

$$b=\frac{5}{\mathrm{ctg}(30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Ismét helyes eredményt kaptunk.