Взаимно положение на права и окръжност

Права и окръжност могат да се срещнат в равнината само по три начина. Правата или пресича окръжността в две точки и тогава я наричаме секуща. Или само се допира до нея в единствена точка и това е допирателна. Или минава изцяло встрани от нея, така че нямат нито една обща точка, и става въпрос за външна права. Други възможности няма, три общи точки правата с окръжността не може да има. Нагледен пример за допирателна е колело, което стои на пътя: допира се до него само в една точка.

На чертежа синята права p е секуща, червената t е допирателна, а зелената q е външна права. Общите точки са отбелязани в оранжево. И трите прави са успоредни и се различават една от друга само по разстоянието си от центъра O. И всичко зависи точно от това разстояние.

Според разстоянието до центъра

Разстоянието от центъра до права е дължината на най-краткия път от центъра до правата. Той винаги е перпендикулярен: от центъра спускаме перпендикуляр към правата и измерваме отсечката от центъра до мястото, където перпендикулярът пресича правата. До коя да е друга точка от правата разстоянието от центъра е по-голямо, защото такава отсечка е хипотенуза на правоъгълен триъгълник, а хипотенузата е по-дълга от катета. На чертежа тези перпендикуляри са сиви прекъснати линии, а правият ъгъл при всяка права е означен с дъга с точка.

Означаваме това разстояние с d и го сравняваме с радиуса r:

• d < r – правата е по-близо до центъра, отколкото е радиусът, така че навлиза в окръжността и излиза от нея. Това е секуща.
• d = r – правата само се допира до окръжността. Това е допирателна.
• d > r – правата е по-далеч от центъра, отколкото стига окръжността. Това е външна права.

При допирателната перпендикулярът минава точно през допирната точка и затова допирателната винаги е перпендикулярна на радиуса, който води до допирната точка.

Разстоянието от центъра до права определяме по формулата за разстояние от точка до права. За точка O(x₀; y₀) и права ax + by + c = 0 е изпълнено:

$$d=\frac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Формулата изисква правата в общ вид. Ако е зададена например като y = x + 1, първо трябва да я преобразуваме във вида x − y + 1 = 0, иначе ще заместим грешни числа.

Нека изпробваме формулата върху окръжността x² + y² = 25 и правата 3x − 4y − 25 = 0. Окръжността има според уравнението на окръжност център в началото O(0; 0) и радиус $r=\sqrt{25}=5$. От уравнението на правата отчитаме a = 3, b = −4 и c = −25 и заместваме:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

И довършваме сметката:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Получихме 5, т.е. точно радиуса, и затова правата е допирателна към окръжността.

На чертежа разстоянието d е в червено. Перпендикулярът от центъра е с дължина, равна на радиуса, така че свършва точно върху окръжността, в точката T, където правата се допира до окръжността.

Този начин е бърз и върши работа, когато ни стига да знаем как е разположена правата спрямо окръжността. Не ни казва обаче къде точно пресича окръжността или се допира до нея. За това трябва да пресмятаме.

Пресмятане на общите точки

Обща точка на права и окръжност трябва да удовлетворява и двете уравнения, така че решаваме система уравнения, както при взаимното положение на две прави: от уравнението на правата изразяваме едно неизвестно и го заместваме в уравнението на окръжността. Получава се квадратно уравнение и колкото решения има то, толкова общи точки има правата с окръжността. Броят на решенията се определя от дискриминантата:

• D > 0 – две решения, правата е секуща,
• D = 0 – едно (двойно) решение, правата е допирателна,
• D < 0 – няма решение, правата е външна.

Първи пример: Имаме окръжността x² + y² = 25 и правата y = x + 1. Вместо y заместваме в уравнението на окръжността израза x + 1:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Повдигаме на квадрат скобата:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Събираме и прехвърляме всичко в лявата страна:

$$2x^2+2x-24=0$$

Съкращаваме цялото уравнение на две:

$$x^2+x-12=0$$

Пресмятаме дискриминантата:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Дискриминантата е положителна, следователно правата е секуща. Корените са

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

т.е. x₁ = 3 и x₂ = −4. Още не сме готови: търсим самите точки, не само първите им координати. Втората координата получаваме от уравнението на правата y = x + 1: при x = 3 е y = 4, а при x = −4 е y = −3. Следователно правата пресича окръжността в точките P(3; 4) и Q(−4; −3).

Проверка за точката P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Съвпада, точката лежи на окръжността.

Втори пример: Нека вземем отново правата 3x − 4y = 25 от предишния раздел. За нея вече знаем, че е допирателна, така че сега остава да намерим допирната точка. Първо изразяваме y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Заместваме в уравнението на окръжността:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Повдигаме на квадрат дробта, числителя и знаменателя поотделно:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

За да изчезне дробта, умножаваме цялото уравнение по шестнадесет:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Събираме подобните членове и ги прехвърляме в лявата страна:

$$25x^2-150x+225=0$$

Делим на двадесет и пет:

$$x^2-6x+9=0$$

Дискриминанта:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Нула, следователно правата е допирателна. Това вече го знаехме, но е полезно да видим, че двата метода стигат до един и същи резултат. Единственият (двойният) корен е $x=\frac{6}{2}=3$ и след заместване в $y=\frac{3x-25}{4}$ получаваме $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Допирната точка е T(3; −4).

Трети пример: Нека опитаме с правата y = x + 10. След заместване в x² + y² = 25 се получава уравнението 2x² + 20x + 75 = 0 с дискриминанта D = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Отрицателната дискриминанта означава, че уравнението няма решение и следователно правата е външна.