✖

Diszkrimináns

A diszkrimináns olyan polinom, amelynek segítségével kiszámíthatjuk az általános másodfokú egyenlet megoldásait, illetve megállapíthatjuk, hogy az egyenletnek van-e megoldása, és hány.

A képlet és az alapvető összefüggések

Először ismételjük át a másodfokú egyenlet alapalakját:

ax2+bx+c=0,a≠0

ahol az a, b, c valós számok. A diszkriminánst, jelöljük D-vel, így számítjuk ki:

D=b2−4⋅a⋅c

Példa: legyen adott a 3x2 + 5x − 7 = 0 másodfokú egyenlet. Erre az egyenletre igaz, hogy a = 3, b = 5, c = −7. A diszkriminánst így számítjuk ki:

D=52−4⋅3⋅(−7)=25+4⋅3⋅7=25+84=109

Az eredmény tehát 109. Mit mond nekünk ez a szám? Ha a diszkrimináns…

  • pozitív, akkor az egyenletnek két különböző valós gyöke van,
  • nulla, akkor az egyenletnek két egyenlő valós gyöke van,
  • negatív, akkor az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán. A komplex számok halmazán viszont van megoldása.

Hogyan számítjuk ki a másodfokú egyenlet gyökeit

A diszkrimináns segítségével közvetlenül kiszámíthatjuk a másodfokú egyenlet gyökeit. A gyökök kiszámításának képlete így szól:

x1,2=−b±D2a,

ahol D a diszkrimináns. A teljes képlet a diszkrimináns kifejtésével így néz ki:

x1,2=−b±b2−4ac2a.

Próbáljuk ki ezzel a képlettel az x2 + 7x + 12 = 0 másodfokú egyenlet gyökeinek kiszámítását. Először kiszámítjuk a diszkriminánst:

D=72−4⋅1⋅12=49−48=1.

A diszkrimináns pozitív lett, tehát az egyenletnek két különböző valós gyöke van. Kiszámítjuk az első gyököt. Először hozzáadjuk a diszkrimináns négyzetgyökét, a második lépésben pedig kivonjuk:

x1=−7+12=−7+12=−62=−3.

Az első gyök −3 lett. A második gyököt a négyzetgyök kivonásával számítjuk ki:

x2=−7−12=−7−12=−82=−4.

Most már megvan az egyenlet mindkét gyöke, x1 = −3 és x2 = −4.

Ennek az eljárásnak az elsajátításához elengedhetetlen, hogy helyesen meg tudd határozni az a, b és c értékét. Hogyan kell ezt helyesen csinálni, azt a másodfokú egyenletekről szóló első cikkben írtuk le.

És mit jelent ez a megoldás grafikusan, hogyan látszik a grafikonon? Ha lerajzoljuk az egyenlet bal oldalán álló függvény grafikonját, azt találjuk, hogy ennek a másodfokú függvénynek a grafikonja két pontban metszi az x tengelyt – az x1 = −3 és az x2 = −4 pontban.

Az y=x^2+7x+12 függvény grafikonja

Nulla diszkrimináns

Ha a diszkrimináns nulla, akkor az egyenletnek van megoldása, de csak egy; illetve kettő, de egyenlő. Példa: oldd meg az x2 − 10x + 25 = 0 egyenletet. Kiszámítjuk a diszkriminánst:

D=(−10)2−4⋅1⋅25=100−100=0.

A gyököt ugyanúgy számítjuk ki, mint az előző fejezetben, a képlettel. De mivel a diszkrimináns nulla, a képletből eltűnik a D négyzetgyökének plusz/mínusz előjelű tagja, hiszen nullát adnánk hozzá, illetve vonnánk ki.

x1,2=−(−10)2=102=5.

Egy kétszeres gyököt kaptunk, x = 5. Mit jelent ez grafikusan? Azt, hogy a függvény grafikonja pontosan egy pontban érinti az x tengelyt, a csúcspontjában.

Az y=x^2-10x+25 függvény grafikonja

Negatív diszkrimináns

Ha a diszkrimináns negatív, akkor a másodfokú egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán. Az egyenletet megoldhatjuk a komplex számok halmazán is, de erről majd a következő cikkben lesz szó. Példaként próbáljuk megoldani ezt a másodfokú egyenletet: x2 + x + 1 = 0. A diszkrimináns:

D=12−4⋅1⋅1=1−4=−3.

A másodfokú egyenletnek tehát nincs megoldása a valós számok halmazán. Ki is próbálhatod – az x2 + x + 1 polinom minden valós számra pozitív. Például ha x helyére egyet írsz, ezt kapod: 1 + 1 + 1 = 3. Ha x = −1, akkor 1 − 1 + 1 = 1. Ha x = 0, akkor 0 + 0 + 1 = 1. És hasonlóan a többi számra is. Megnézheted az y = x2 + x + 1 függvény grafikonját is, soha nem metszi az x tengelyt.

Az y=x^2+x+1 függvény grafikonja

Viète-formulák

Már tudjuk, hogyan számítsuk ki a másodfokú egyenlet megoldásait. De milyen kapcsolat van közöttük? Próbáljuk meg összeadni a két megoldást, az x1-et és az x2-t:

x1+x2=−b+D2a+−b−D2a=−b+D−b−D2a=−2b2a=−ba

Ha összeadjuk az ax2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet gyökeit, a −b/a értéket kapjuk. Mi történik, ha a gyököket összeszorozzuk?

x1⋅x2=−b+D2a⋅−b−D2a=b2+b⋅D−b⋅D−D4a2=b2−D4a2=b2−(b2−4ac)4a2=4ac4a2=ca

Tehát ha összeszorozzuk a gyököket, a c/a számot kapjuk. És ezek a Viète-formulák. Még egyszer együtt:

x1+x2=−bax1⋅x2=ca

Vedd észre, hogy a tört nevezőjében mindig az a áll. Különleges eset az a másodfokú egyenlet, amelyre a = 1. Ekkor a Viète-formulákat így írhatjuk fel:

ha a=1:x1+x2=−bx1⋅x2=c

Ezt kihasználhatjuk a másodfokú egyenletek megoldásának keresésekor. Ahelyett, hogy bonyolultan kiszámítanánk a diszkriminánst, megnézhetjük, hogy találunk-e olyan x1 és x2 számokat, amelyekre teljesülnek a fenti összefüggések. Példa: keressük meg az x2 + 8x + 15 = 0 egyenlet megoldásait. Mivel a = 1, használhatjuk az egyszerűbb Viète-formulákat. Olyan x1 és x2 számokat keresünk, amelyekre:

x1+x2=−8x1⋅x2=15

Ha csak az egész számokra szorítkozunk, akkor összesen négy lehetőségünk van arra, hogy a szorzat 15 legyen:

1⋅15=153⋅5=15−3⋅(−5)=15−1⋅(−15)=15

Most azt kell elérnünk, hogy a bal oldalon álló számok összege −8 legyen. Csak egyetlen számpár adja ezt az összeget, a −3 és a −5. Ezek a számok tehát a másodfokú egyenlet megoldásai. Behelyettesíthetjük őket az egyenletbe, nullát kell kapnunk:

(x=−3):(−3)2+8⋅(−3)+15=9−24+15=0(x=−5):(−5)2+8⋅(−5)+15=25−40+15=0

Stimmel. Ha ismerjük a gyököket, az egyenletet olvashatóbb alakban is felírhatjuk. Ha x1 és x2 az ax2 + bx + c = 0 egyenlet gyökei, akkor a = 1 esetén az egyenletet átírhatjuk ilyen alakra:

(x−x1)(x−x2)=0.

Az előző egyenletet tehát átírhatjuk így:

(x−(−3))(x−(−5))=(x+3)(x+5)=0.

Fejezetek: Másodfokú egyenletek, Diszkrimináns, Paraméteres, A komplex számok halmazán