Logaritmusfüggvények

A logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverz függvénye.

Mi a logaritmus

A logaritmusfüggvényt log jellel írjuk, a természetes alapú logaritmust (lásd lejjebb) pedig ln-nel jelöljük. A logaritmusfüggvény alapvető hozzárendelési szabálya így néz ki:

$y = \log_{a} x$

Ezt így olvassuk: „Az x szám a alapú logaritmusa”. Ez a logaritmusfüggvény az f(x) = a^x exponenciális függvény inverze. A logaritmusfüggvény függvényértékét hívjuk logaritmusnak.

Mivel a logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverze, a következő ekvivalenciának kell teljesülnie:

$y = \log_{a} x \Leftrightarrow a^{y} = x$

Tehát ha az a^y értéke x, akkor az x a alapú logaritmusa y. Nézzünk néhány példát. Legyen az exponenciális függvény f(x) = 2^x. Hogyan nézne ki az inverz (logaritmus-) függvénye? Így: f⁻¹(x) = log₂x. Ha az exponenciális függvénybe behelyettesítjük a hármat, ezt kapjuk: f(3) = 2³ = 8.

Milyen összefüggésnek kell most teljesülnie? Ha az f⁻¹ inverz függvénybe a nyolcat írjuk, a logaritmusfüggvénynek a hármat kell visszaadnia. A 3 ugyanis az exponenciális függvény argumentuma volt, a 8 pedig az eredménye. Az inverz függvény fordítva viselkedik: a bemenete a 8, a kimenete a 3.

Ha tehát felírjuk, hogy 2³ = 8, akkor az inverz logaritmusfüggvény ezt az összefüggést adja: log₂8 = 3. Mi tehát a logaritmus? A logaritmus az a kitevő, amelyre az alapot emelnünk kell, hogy az x argumentumot megkapjuk.

Fontos logaritmusfüggvények

Néhány logaritmusfüggvény különösen fontos. Ilyen a „természetes alapú logaritmus”, amelynek az alapja az Euler-féle szám. Ezt az e betűvel jelöljük. Ez egy irracionális szám, vagyis végtelen, nem szakaszos tizedes tört alakú szám. Közelítő értéke: e = 2,718 281 828…. A természetes alapú logaritmust vagy log_ex alakban, vagy egyszerűbben ln x alakban írjuk. Az „n” betű a latin „logarithmus naturalis” kifejezésből ered, de az angol szót is megjegyezheted: „natural” = „természetes”.

Egy másik jelentős logaritmus a „tízes alapú logaritmus”, vagyis a tízes alapú logaritmusfüggvény. Általában log₁₀x vagy egyszerűen lg x alakban írjuk.

A logaritmusfüggvény tulajdonságai

Ahogy már tudjuk, a logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverze. Ezért átveszi annak néhány tulajdonságát és megszorítását is. Tudjuk, hogy az exponenciális függvény alakja f(x) = a^x, ahol a olyan valós szám, amely nagyobb nullánál és különbözik az egytől. Ezért a logaritmus a alapjának is nagyobbnak kell lennie nullánál, és különböznie kell az egytől. Írjuk fel hát még egyszer a logaritmusfüggvényt:

$y = \log_{a} x, a \in R, a > 0, a \neq 1$

Mivel inverz függvényről van szó, az értelmezési tartományát és az értékkészletét is ismerjük. A logaritmusfüggvény értelmezési tartománya megegyezik az exponenciális függvény értékkészletével, tehát a logaritmusfüggvény értelmezési tartománya ]0; +∞[. A logaritmus értékkészlete pedig megegyezik az exponenciális függvény értelmezési tartományával, vagyis az összes valós szám halmaza.

A logaritmusfüggvények grafikonjai

Az exponenciális függvényhez hasonlóan itt is két esetet kell megkülönböztetnünk: amikor az a alap a ]0; 1[ intervallumból való, és amikor az ]1; +∞[ intervallumból. Az első esetben, tehát ha a a ]0; 1[ intervallumból való, a grafikon így néz ki:

$A \log_{\frac12}x logaritmusfüggvény grafikonja$

Ha az a alap az ]1; +∞[ intervallumból való, a grafikon így néz ki:

$A \log_ex logaritmusfüggvény grafikonja$

Nézd meg még az exponenciális függvény és inverzének, a logaritmusfüggvénynek a grafikonját egy ábrán (kék a logaritmusfüggvény, piros az exponenciális függvény):

$Az y=e^x és az y=\log_ex függvény grafikonja – a görbék szimmetrikusak az első és a harmadik síknegyed szögfelezőjére (szürke szaggatott vonal)$

Miért megy át a grafikon az (1; 0) ponton

Mindkét grafikon az x = 1 pontban metszi az x tengelyt. Ez rendben is van, hiszen minden exponenciális függvény átmegy a (0; 1) ponton. Mivel a logaritmusfüggvény az inverze, ennek mindig át kell mennie az (1; 0) ponton. Ennek megvan a logikája. Ha a grafikon átmegy az (1; 0) ponton, az azt jelenti, hogy az x = 1 bemenetnél a kimenet f(x) = 0.

A logaritmusok esetében ez azt jelenti, hogy azt a kitevőt keressük, amelyre az alapot emelve egyet kapunk. Melyik ez a kitevő? Csakis a nulla. Bármi a nulladikon egy, ezért bármi is az alap, a logaritmusfüggvény átmegy az (1; 0) ponton. (Megjegyzés: ne felejtsd el, hogy az alap nem lehet akármi: a>0 és a ≠ 1.)

A logaritmus azonosságai (képletek)

Következnek a logaritmusokra vonatkozó fontos összefüggések és képletek:

Tegyük fel, hogy az a valóban a logaritmus alapja, tehát a>0, a ≠ 1. Legyen továbbá x₁ és x₂ tetszőleges pozitív valós szám. Ekkor:

$\begin{array}{rcl} \log_{a} (x_{1} \cdot x_{2}) & = & \log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2} \\ \log_{a} (\frac{x_{1}}{x_{2}}) & = & \log_{a} x_{1} - \log_{a} x_{2} \\ \log_{a} x^{r} & = & r \cdot \log_{a} x \forall r \in R \\ \log_{a} \sqrt[n]{x} & = & \frac{1}{n} \log_{a} x \forall n \in N^{+} \end{array}$

Néhány összefüggés, amely közvetlenül a logaritmus definíciójából következik:

$\begin{array}{rcl} \log_{a} 1 & = & 0 (a^{0} = 1) \\ \log_{a} a & = & 1 (a^{1} = a) \\ a^{\log_{a} x} & = & \log_{a} a^{x} = x \end{array}$

Hogyan fejezzünk ki másik logaritmust a természetes alapú logaritmussal

Előfordul, hogy például a számológépünkön nincs tetszőleges alapú logaritmus, csak természetes alapú és tízes alapú. Mit tegyél, ha más alapú logaritmust kell kiszámítanod? Van egy képlet, amely segít. Igaz ugyanis, hogy:

$\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$

Ha a b értékének az Euler-féle számot választjuk, ezt a képletet kapjuk:

$\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Az első fejezetben ki kellett számítanunk a 8 2 alapú logaritmusát. Ezt a természetes alapú logaritmussal így számíthatjuk ki:

$\log_{2} 8 = \frac{\ln 8}{\ln 2} = 3$

Nem kell természetes alapú logaritmust használnod, használhatsz akár tízes alapút is, a képlet ezt megengedi. Tehát ugyanígy igaz, hogy:

$\log_{2} 8 = \frac{\lg 8}{\lg 2} = 3$

« Előző: Gyökvonás

Következő: Másodfokú függvény »