Kamatos kamat

A kamatból akkor lesz kamatos kamat, amikor többször kell felszámítani. Ha például van egy tartozásod, amelyre évente egyszer számítanak kamatot, és öt évig tartozol, a tartozásra ötször számítanak kamatot – ezt nevezzük kamatos kamatnak.

Kamatos kamat

Ha a tartozás összegére többször számítanak kamatot, kamatos kamatról beszélünk. Az előző képletben százalékokat használtunk, a következőben viszont egyszerűbb a százalékot közönséges tizedes törtre átváltani. Ezt könnyen megtesszük: a százalékot elosztjuk százzal. Ha a kamat 50% volt, 0,5-öt kapsz, vagyis egy felet. Ha a kamat 7% volt, 0,07-ot kapsz. Ezt a tizedes törtet az „r” betűvel jelölöm. A képlet így nézhet ki:

$$r=\frac{\text{kamatláb}}{100}$$

Ha ezzel a számmal megszorozzuk a tartozás összegét, rögtön megkapjuk a kamatot. Tegyük fel, hogy Viktor bácsi kölcsönadott nekünk harmincmillió forintot évi 10%-os kamattal, ami tizedes törtként 0,1. Egy év után a kamat 30 000 000 · 0,1 = 3 000 000. Vagyis hárommillióval többet fizetünk vissza, mint amennyit kölcsönkaptunk. Mennyi lesz a kamat a következő évben? Az eredeti összeghez hozzá kell adni az első kamatot, és az összeget ismét meg kell szorozni 0,1-del:

$$(30000000+3000000)\cdot 0,1=3300000$$

Egy évvel később tehát már 3 300 000 forint kamatot fizetnénk, vagyis többet, mint az első évben.

Ha nem csak a kamatot, hanem rögtön a tartozás összegét szeretnéd megkapni, elég a tizedes tört alakú kamatlábhoz egyet hozzáadni, és ezzel a kifejezéssel megszorozni a tartozás összegét:

$$30000000\cdot 1,1=33000000$$

Az első év után tehát 33 000 000 forinttal tartoznánk. Ha a tartozást három év után szeretnénk kiszámítani, többször egymás után megszorozzuk 1,1-del:

$$((30000000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=39930000$$

Ebből már lassan kirajzolódik a képlet, mert a szorzásnál nem számít sem a sorrend, sem a zárójelezés, ezért a kifejezést átírhatjuk így:

$$30000000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

És ezt már csak át kell írnunk hatvány segítségével:

$$30000000\cdot 1,1^3$$

Ebből már könnyen levezethetjük az általános képletet.

A kamatos kamat végső képlete

Következik a teljes kamatos kamat képlete, utána elmagyarázom:

$$K_t=K_0\cdot (1+r{)}^t$$

A „K” betű a tőkét jelenti, vagyis a tartozás összegét. Az alsó index megmondja, hány kamatperiódus van már mögötte. A K₀ jelölés tehát azt az összeget jelenti, amelyre még egyszer sem számítottak kamatot – ez az az összeg, amelyet az elején kaptunk (a harmincmillió Viktor bácsitól). A „t” betű azt jelöli, hány kamatperiódussal akarunk számolni. Ha tíz évre előre akarunk számolni, akkor t = 10. A K_t jelölés a végső tartozást jelenti t kamatperiódus után. Az „r” betű a kamatlábat jelöli tizedes tört alakban (lásd fent).

Próbáljuk kiszámolni, mennyi kamatot fizetnénk, ha az egész összeget csak 15 év múlva adnánk vissza Viktor bácsinak:

$$K_t=K_0\cdot (1+r{)}^t=30000000\cdot (1+0,1{)}^{15}\approx 125317445$$

Felhívom a figyelmet, hogy ez nem közvetlenül a kamat, hanem a végső tartozás összege. Ha csak a kamatot szeretnénk, le kellene vonnunk az eredeti tartozást, vagyis még mínusz harmincmilliót: 95 317 445.

Példa

Pál új autót akart venni, de természetesen nem volt rá pénze, ezért kölcsönvett hétmillió-ötszázezer forintot, 7 500 000-et. A kamatláb 8% volt, és mindig évente számítottak kamatot. Pál sokat költekezett, ezért az első évben csak háromszázezret fizetett vissza, 300 000-et. A tartozás 7 200 000-re csökkent. Az év fordulóján azonban kamatot számítottak, és a kamat 7 200 000 · 0,08 = 576 000 lett. Újévkor Pál tehát már 7 200 000 + 576 000 = 7 776 000 forinttal tartozott. Ez több, mint az elején.

Ez Pált nem nyugtalanította, és ismét csak 300 000 forintot fizetett vissza. Így 7 476 000 forinttal tartozott. A kamatok hozzáadása után ez 8 074 080-ra ugrott. A tartozás összege magasabb volt, mint tavaly, és mint tavalyelőtt is. Pál ezt nem vette észre, és továbbra is csak 300 000 forintot fizetett évente. Élete végéig törlesztette, és mégis sokmilliós adóssággal halt meg. Így inkább ne.

További olvasnivaló

A kamatos kamattal szorosan összefügg az Euler-féle szám. Olvasd el tehát, honnan jön az Euler-féle szám. A kamatos kamatra akkor lesz szükséged, ha tudni akarod, hogyan számold ki a jelzáloghitel kamatait.