Gyökvonás

A gyökvonás a hatványozás részleges inverz függvénye. Leggyakrabban a négyzetgyökkel dolgozunk, amely olyan számot keres, amelyet önmagával megszorozva megkapjuk az eredeti számot, amelyből gyököt vontunk.

Négyzetgyök

A gyökvonás jele a $\sqrt{}$, és hogy a gyökjel argumentumát ne kelljen zárójelbe írni, például így: $\sqrt{}$(25), a teljes argumentum (a kifejezés, amelyből gyököt akarunk vonni) fölé vízszintes vonalat húzunk, így: $\sqrt{25}$.

Eleinte csak a valós szám négyzetgyökével foglalkozunk. Ezt így határoznánk meg:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Ha megszorzod az a szám négyzetgyökét az a szám négyzetgyökével, az a számot kapod. A 9 négyzetgyöke tehát 3, mert 3 · 3 = 9.

Az előző kifejezést felírhatjuk így is:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Ez csak az előző szorzás másik felírása hatvány segítségével.

Lényeges tény, hogy ez az egyenlet csak azokra az a értékekre érvényes, amelyek a négyzetgyök értelmezési tartományába tartoznak. Negatív számból ugyanis nem vonhatunk gyököt. Bármilyen pozitív számból vonhatunk gyököt, a nullából is, de a negatív számból nem tudunk. Miért nem megy?

Tegyük fel, hogy a −25 négyzetgyökét akarjuk kiszámolni. Alapvetően két lehetőségünk van, milyen számot válasszunk: pozitívat vagy negatívat. Ha pozitívat választunk, akkor 5 · 5 = 25. Bár 25-öt kaptunk, mi a −25-öt szeretnénk. Megpróbáljuk tehát a −5-öt; de szorzás után megint 25-öt kapunk. Egyszerűen, ha két negatív számot szorzol össze, pozitív számot kapsz. Ugyanígy, ha két pozitív számot szorzol. A −25-höz a −5 · 5 szorzatra lenne szükséged, és ez nem megy, mert két különböző számot szorzol, még ha csak az előjelükben különböznek is. Ezért negatív számból nem lehet négyzetgyököt vonni.

n-edik gyök

Ahogy egy kifejezést négyzetre, köbre, negyedik hatványra emelhetünk, úgy valós számból harmadik, negyedik és végül n-edik gyököt is vonhatunk. A gyökkitevőt általában a gyökjel horga fölé írjuk, így:

$$\sqrt[5]{32}$$

Ez a felírás a harminckettő ötödik gyökét jelöli. Az n-edik gyököt az n-edik hatvánnyal határozzuk meg így:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in {\mathbb{N}}^{+},a,b\ge 0$$

Ha az n helyére kettőt írunk, megkapjuk a négyzetgyököt, ahogy az imént meghatároztuk. Röviden így is meghatározhatnánk:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Szokás szerint a négyzetgyöknél nem kell kiírni a kettest, tehát ezek a felírások egyenértékűek:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

A negyedik gyökre például ez érvényes:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

És egy konkrét példa:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Fordítva pedig 4 · 4 · 4 = 64.

Gyök negatív számból

Már tudjuk, hogy negatív számból nem létezik négyzetgyök, mert az a², ahol a valós szám, soha nem lesz negatív. A magasabb fokú gyököknél azonban már nem csak kétszer szorzunk, ezért előfordulhat, hogy negatív számból létezik n-edik gyök. Hogyan is van ez?

Az zavart minket, hogy ha egy negatív számot kétszer szorzunk, pozitív számot kapunk. A −25 eredményhez a −5 · 5 szorzatra volt szükségünk. De mi történik, ha három negatív számot szorzunk össze? Az első két negatív szám összeszorzása után pozitív számot kapunk. Az utolsó negatív számmal való szorzás után viszont megint negatív számot kapunk. Ha még egyszer szoroznánk (összesen négyszer), megint a pozitív számoknál vagyunk.

A tanulság az, hogy ha egy negatív számot n-szer szorzunk, akkor ha az n páros, a kapott szorzat pozitív, ha páratlan, a szorzat negatív. Ebből arra következtetünk, hogy negatív számból akkor létezik n-edik gyök, ha az n páratlan. Példa:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Átalakítás hatvánnyá

A gyököket könnyen átalakíthatjuk hatványokká, és ezt gyakran meg is tesszük, mert a gyökökkel utána könnyebb dolgozni. Érvényes a következő összefüggés:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Ha van egy a-ból vont n-edik gyökünk, az ugyanaz, mintha az a-t 1/n-edik hatványra emelnénk. Ez abban a pillanatban is jól jön, amikor valahová a másodiknál magasabb fokú gyököt kell beírnod. Gyakran ez közvetlenül nem megy, de a kitevőbe törtet be lehet írni. Ha a negyedik gyök grafikonját szeretnéd kirajzoltatni, rajzoltasd ki az

$$f(x)=x^{1/4}$$

függvény grafikonját.

A leggyakrabban a négyzetgyök átalakítását használjuk:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Képletek gyökökre

Mivel a gyököt könnyen át lehet alakítani hatvánnyá, a gyököt tartalmazó kifejezések öröklik az általános hatványok képleteit. Érvényesek tehát a következő összefüggések:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Egyúttal érvényesek ezek az alapvető összefüggések:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Részleges gyökvonás

A részleges gyökvonás olyan módszer, amelyet a gyökök egyszerűsítésére használunk, és az előző képletek egyikén alapul:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

A gyökjel alatti kifejezések egy része ugyanis felbontható szorzattá, ezután két gyökre írható, végül az egyiket ki lehet számolni. Tipikus példa lehet ez:

$$\sqrt{4x}$$

Ezt a kifejezést az előző képlet szerint átírhatjuk így:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

És most gyököt vonhatunk a négyből:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

Hasonlóan átírhatunk egy egyszerű számot is, ha meg akarjuk tartani a pontos alakot. Íme egy példa:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$