Számolás százalékokkal

A százalékok általában az egésznek valamilyen relatív részét jelölik, miközben magát az egészet 100%-ként fejezzük ki. A százalékokat mindig felírhatjuk tört alakban.

A százalék mint az egész része

Százalékot akkor használunk, amikor egy egésznek egy részét akarjuk kifejezni. A százalékokat helyettesíthetjük olyan kifejezésekkel, mint „az osztály negyede egyest kapott” vagy „minden második ember férfi”. Mindig van egy egészünk, például az osztály összes tanulója, és azt mondjuk, hogy ennek a negyede kapott egyest. Ha az osztályban 32 tanuló van, és a negyedük egyest kapott, akkor az egyest kapott tanulók száma:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{ami ugyanaz, mint}\frac{32}{4}=8$$

A második esetben lehet egy városunk, mondjuk Kaposvár. Körülbelül 60 000 lakosa van. Ha minden második lakos férfi, az azt jelenti, hogy a felük férfi, ezt így írjuk:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{ami ugyanaz, mint}\frac{60000}{2}=30000$$

Azt is mondhatnánk, hogy „Kaposváron minden századik ember matematikus”. Akkor Kaposváron $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$ matematikus lenne. A „minden századik” ugyanaz, mint „a lakosok egy század része”.

Most bevezethetjük a százalék fogalmát. Az egy százalék, jelölése 1%, az egész egy század részét jelenti. Ez azt jelenti, hogy amikor azt mondjuk, „Kaposváron minden századik ember matematikus”, és azt, hogy „Kaposváron az emberek egy százaléka matematikus”, ugyanazt mondjuk. Az egész egy százalékát úgy számítjuk ki, hogy az egészet megszorozzuk az $\frac{1}{100}$ törttel, vagy elosztjuk 100-zal, ez ugyanaz.

A százalékokat könnyen átválthatjuk törtekre, és tovább dolgozhatunk velük. Ha azt mondanánk, hogy „Kaposváron az emberek x%-ának sötét a haja”, az ugyanaz, mintha azt mondanánk, „Kaposváron $\frac{x}{100}\cdot 60000$ embernek sötét a haja”. A 100% ekkor az egészet jelenti, vagyis az összes lakost. Az „a tanulók 100%-a átment a következő évfolyamra” mondat azt jelenti, hogy az összes tanuló átment. Az „a tanulók 0%-a megbukott” mondat azt mondja, hogy senki sem bukott meg. Példák:

1. Kaposvár lakosainak 35%-a buszozik. Hányan buszoznak? A 35% ugyanaz, mint az egész $\frac{35}{100}$ része (= „az egész harmincöt század része”). Így számítjuk ki: $\frac{35}{100}\cdot 60000$. Ezt egyszerűen kiszámíthatjuk úgy, hogy először elosztjuk a 60 000-et százzal, és az eredményt megszorozzuk 35-tel. Lényegében ezt az átalakítást végezzük:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60000=\frac{35\cdot 60000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21000$$

   Elképzelhetjük úgy is, hogy először kiszámítjuk, hány lakos felel meg egy százaléknak: $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$. Egy százaléknak 600 lakos felel meg. Mi a lakosok 35%-át szeretnénk tudni, ezért ezt a 600 lakost már csak megszorozzuk: 35 · 600 = 21 000.

2. Bence átlagosan 8000 forintot keres naponta. Ma csak az átlagos keresetének 75%-át kereste meg. Mennyit keresett Bence? Az eljárás továbbra is ugyanaz. Az egész 8000, a 75%-ot pedig átváltjuk a $\frac{75}{100}$ törtre. Ezt a törtet még egyszerűsíthetjük a $\frac{3}{4}$ törtre. Az egészet megszorozzuk ezzel a törttel:

   $$\frac{3}{4}\cdot 8000=\frac{3\cdot 8000}{4}=3\cdot 2000=6000$$

3. Másnap Bence összeszedte magát, és az átlagos keresetének 150%-át kereste meg. Mennyit keresett? Lehet egyáltalán 100%-nál több, ha azt mondtuk, hogy a 100% az egészet jelenti? Igen, lehet. Ahogy valaki kereshet „háromszor annyi pénzt, mint átlagosan”, úgy kereshet az átlagának 150%-át is.

   Pontosan ugyanúgy járunk el. A 150%-ot átváltjuk a $\frac{150}{100}$ törtre, és ezzel a törttel megszorozzuk Bence átlagos keresetét, vagyis a 8000-et:

   $$\frac{150}{100}\cdot 8000=\frac{150\cdot 8000}{100}=\frac{150\cdot 80}{1}=150\cdot 80=12000$$

A százalék mint hármasszabály

Az egész százalékokkal kifejezett részét könnyen felírhatjuk hármasszabályként. Maradjunk Bencénél, aki átlagosan 8000 forintot keres naponta, és ma az átlagos keresetének 75%-át kereste meg. Hármasszabállyal ugyanis ezt így írhatjuk fel:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 8000\text{ forint}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ forint}\end{array}$$

Mivel egyenes arányosságról van szó, ezt az alakot kapjuk:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{8000}$$

Megszorozzuk az egyenletet 8000-rel, és azt kapjuk:

$$\frac{75\cdot 8000}{100}=x$$

Innen már könnyen kiszámítjuk az eredményt:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 8000}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 80}{1}& =& x\\ x& =& 75\cdot 80\\ x& =& 6000\end{array}$$

Látjuk, hogy ugyanazt a számot kaptuk.

Mi van, ha a részt ismerjük, az egészet nem?

Az előző példákban mindig abból indultunk ki, hogy ismerjük az egész pontos értékét, és ebből kell kiszámítanunk egy százalékban megadott részt. De mi van, ha éppen a részt ismerjük, az egészet nem? Példa: Bencének 120 gyűjthető kártyája van a nagy zöld szörnnyel. Annak ellenére, hogy a zöld szörnyes kártyákból ez tekintélyes szám, még így is csak hatvan százaléka annak, amennyi Jutkának van. Hány kártyája van Jutkának?

Itt a részt ismerjük, az egészet nem – azt kell kiszámítanunk. Most azt tudjuk, hogy a 120 kártya a Jutkának lévő kártyák 60%-ának felel meg. Hogy megtudjuk, hány kártya felel meg egy százaléknak, elég elosztanunk a százhúszat hatvannal. Kettőt kapunk: 120/60 = 2. Egy százaléknyi kártya valójában két zöld szörnyes kártya. Mivel az egészet számítjuk – az pedig mindig 100% –, ezt a kártyaszámot megszorozzuk százzal. És megvan a 200 kártya, ez a helyes eredmény.

Ellenőrizhetjük úgy, hogy kiszámítjuk a 200 60%-át: egyszerűen megszorozzuk

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Látjuk, hogy a 200 60%-a 120, ami pontosan Bence zöld szörnyes kártyáinak a száma.

Százalékok összeadása

Ha olyan példát kell megoldanunk, amelyben százalékok szerepelnek, mindig az a legjobb, ha a százalékok helyett kiszámítjuk a pontos értékeket, és azokat adjuk össze. A feladat szövege tehát lehetne ilyesmi: Márton 150 000, Szabolcs 200 000, Luca pedig 250 000 forintot keres. Számítsd ki, mennyit keres Szilvia, aki Márton keresetének 30%-át, plusz Szabolcs keresetének 40%-át, plusz Luca keresetének 25%-át keresi.

Itt három kifejezésünk van százalékokkal, de mindegyik más egészből származik. Márton, Szabolcs és Luca mind különböző összeget keres. Először tehát kiszámítjuk Márton keresetének 30%-át. Ennek 1%-a 150 000/100 = 1500. Ezután kiszámítjuk az 1500 · 30 szorzatot, és 45 000-et kapunk. Ezután jön Szabolcs keresetének 40%-a. Ennek 1%-a 200 000/100 = 2000. Ezt megint megszorozzuk 40-nel: 2000 · 40 = 80 000. Az utolsó rész Luca keresetének 25%-a. Ő 250 000 forintot keres, ennek 1%-a 250 000/100 = 2500. 25-tel megszorozva azt kapjuk, hogy 2500 · 25 = 62 500. Most már csak össze kell adnunk a részeredményeket: 45 000 + 80 000 + 62 500 = 187 500. Szilvia 187 500 forintot keres, ami egész szép kereset.

Előfordulhat azonban, hogy tényleg százalékokat kell összeadnunk. A százalékokat csak akkor adhatjuk össze, ha ugyanaz az alapjuk, ugyanaz az egész. Ha tehát például Kristóf Szabolcs keresetének 20%-át plusz Szabolcs keresetének 30%-át keresné, ezeket a százalékokat összeadhatjuk, mert ugyanarról az alapról van szó – mindkét kifejezés Szabolcs alapfizetésével számol. Az eredmény tehát 20% + 30% = 50%. Kristóf annak a felét keresi, amit Szabolcs, vagyis százezret.

A százalékok alattomos lépcsőzetes összeadása

Képzeld el most a következő helyzetet: Miklós az első évben 100 000 forintot keresett. A második évben viszont fizetésemelést kapott, 30%-kal megemelték a fizetését. A következő, harmadik évben megint kapott emelést, és ismét megemelték a fizetését, igaz, ezúttal csak 10%-kal. A kérdés, mekkora most Miklós fizetése?

Az ilyen típusú példák nagyon csábítanak arra, hogy a százalékokat összeadjuk, mint az előző esetben. Hiszen – látszólag – még mindig ugyanazzal az alappal, Miklós fizetésével számolunk. Kiszámítjuk tehát, mennyi 30% + 10%, és hozzáadjuk az alapfizetéséhez. Miklós így 140 000 forintot keresne. Csakhogy nem így van. Nézzük végig.

Az első évben 100 000 forintot kapott. A második évben 100 000 + 30%-ot, ami 130 000, ahogy azt már biztosan magad is kiszámítod. És most a következő évben tíz százalékkal megemelték a fizetését. De vigyázat! Az alap már nem az a százezer, amit az első évben kapott. Az alap már százharmincezer! És mint tudjuk, százalékokat csak akkor adhatunk össze, ha ugyanabból az alapból számoljuk őket. A mi esetünkben viszont az alap különböző. Először 100 000 volt, most pedig 130 000. Az utolsó évben tehát Miklós 130 000 + 10%-ot kapott, ami 143 000.

A 140 000-es megoldás egyrészt rossz volt, másrészt szegény Miklóst becsaptuk 3000 forinttal. Ne légy gonosz Miklóshoz!

Vedd meg a matematikakönyvet akcióban!

Klasszikus példa az akciós is. Képzeld el, hogy a boltban van egy matematikakönyv, amit nagyon szeretnél kapni a Jézuskától a születésnapodra. Különben mit is szeretnél még, ugye? :-)

Karácsony előtt viszont a bolt megdrágítja a könyvet 20%-kal. Úgy gondolod, hogy inkább megvárod, és karácsony után veszed meg. Jól tetted, mert az ünnepek után a bolt 20%-kal leárazta a könyvet. A kérdés az – ugyanannyiba kerül a könyv, mint a drágítás előtt? Vagy többe/kevesebbe?

Egyes emberek józan esze megint azt súgja, hogy a könyv ugyanannyiba fog kerülni, de ez nem igaz. Számoljuk ki. Tegyük fel, hogy a könyv 4500 forintba került. A 20%-os drágítás azt jelenti, hogy a könyv $\frac{20}{100}\cdot 4500=900$ forinttal lett drágább. A könyv így 5400 forintba került.

Csakhogy a 20%-os leárazást már nem a 4500-as alapból számolják, hanem az 5400-asból! Ez azt jelenti, hogy a könyv $\frac{20}{100}\cdot 5400=1080$ forinttal lesz olcsóbb. A könyv leárazás után 4320 forintba kerül.

(De az igazat megvallva, ki venne matematikakönyvet, amikor itt van neked az Érthető matematika ;-))

Ezrelék

Az ezreléket leggyakrabban a járművezetők véralkoholszintjének mérésére használják. Egyesek tévesen azt hiszik, hogy az ezrelék a százalék ezredrésze, de ez hiba, vigyázz vele. Az ezrelék az egész ezredrésze. Egyébként az ezrelékkel pontosan úgy számolunk, mint a százalékkal. Ha az 5000 x ezrelékét szeretnéd megtudni, így számítod ki: $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. A tört nevezőjében a 100 helyett 1000 áll. Az 5000 három ezreléke tehát $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Az ezreléket a ‰ jellel jelöljük. Tehát érvényes, hogy $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Bővebben az ezrelékekről szóló külön cikkben.

A százalék írásmódja

Magyarul a százalékjelet szóköz nélkül írjuk a szám után: a 25% „huszonöt százalék”. A toldalékot kötőjellel kapcsoljuk hozzá, így a 25%-os „huszonöt százalékos”.

Százalékpont

A hétköznapi százalékok mellett százalékpontokról is beszélhetünk. Mi a különbség? Képzeld el, hogy a Firefox böngészőt két évvel ezelőtt az emberek 20%-a használta, de idén már az emberek 30%-a használja. Mekkora a növekedés e két év között? Hiba lenne azt mondani, hogy a növekedés tízszázalékos. Ha a Firefoxot először az emberek 20%-a használta, később pedig 30%-a, az azt jelenti, hogy most másfélszer annyian használják, mint korábban. Ez ötvenszázalékos növekedést jelent.

De egy kicsit mégis bután hangzik azt mondani, hogy a növekedés 50%, amikor mindenkinek érthetőbb lenne, ha azt mondanánk, hogy a százalékok száma tízzel emelkedett. Erre valók a százalékpontok. Ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy a Firefox böngésző használóinak aránya tíz százalékponttal nőtt. A százalékpontokat akkor használhatjuk, ha két százalékos adat egyszerű különbségét akarjuk kifejezni.