A függvények tulajdonságai

A függvény olyan hozzárendelési szabály, amely az M értelmezési tartomány minden x eleméhez az N értékkészlet pontosan egy y elemét rendeli. A függvényt általában y = f(x) alakban írjuk fel, vagy kifejezhetjük explicit módon is: f:y = x, ahol az x változó a függvény argumentuma.

Értelmezési tartomány és értékkészlet

Minden függvénynél meg kell határoznunk az értelmezési tartományát is, ami az x argumentum összes megengedett értékének halmaza, vagyis az összes olyan érték, amelyet az x változó felvehet. Az f függvény értelmezési tartományának jele D_f.

Egyszerű példa: az f:y = x függvény esetén az értelmezési tartomány a valós számok teljes halmaza, D_f = ℝ. Másik példa: $f:y=\frac{1}{x}$, ebben az esetben az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, de most a nulla nélkül, mert nullával nem lehet osztani, a kifejezésnek ekkor nem lenne értelme: D_f = ℝ ∖ {0}.

Az értékkészlet ennek megfelelően az összes megengedett y halmaza, vagyis azoknak az elemeknek a halmaza, amelyekre az f függvény mutathat. Megint egy egyszerű példa: legyen az f:y = x függvény. Itt az értékkészlet az ℝ halmaz, mert az y ennek a halmaznak bármelyik értékét felveheti. Vegyünk azonban egy másik függvényt, az f:y = |x| függvényt (abszolút érték). Itt az értékkészlet már a [0; +∞[ intervallum lesz, mert soha nem fordulhat elő, hogy az y például mínusz öttel egyenlő, hiszen az abszolút érték meghatározása szerint ez nem lehetséges.

Ha az A halmazból a B halmazba történő leképezés fogalmához tartanánk magunkat, akkor tudd, hogy az A halmaz az értelmezési tartomány, a B halmaz pedig az a halmaz, amelybe a függvény leképez; az értékkészlet ennek részhalmaza.

A függvény monotonitása

A függvény monotonitása olyan tulajdonság, amely megmondja, hogy a függvény az adott intervallumon szigorúan monoton növekvő, szigorúan monoton csökkenő, monoton csökkenő, monoton növekvő, konstans, vagy a felsoroltak közül egyik sem.

Ezt a tulajdonságot a legjobban a grafikonról lehet leolvasni: ha úgy érzed, hogy a grafikon lefelé halad, a függvény szigorúan monoton csökkenő, ha a függvény felfelé halad, akkor szigorúan monoton növekvő. Milyen egyszerű :-). A meghatározások így néznének ki: adott az f függvény, és legyen x₁, x₂ ∈ D_f. Ekkor azt mondjuk, hogy

• az f függvény szigorúan monoton növekvő, ha x₁ < x₂ esetén f(x₁) < f(x₂).
• az f függvény szigorúan monoton csökkenő, ha x₁ < x₂ esetén f(x₁) > f(x₂). (A meghatározás ugyanúgy néz ki, de az első esetben a függvényértékeknél < áll, a másodikban pedig >.)

Nézd meg az f(x) = ln(x) szigorúan monoton növekvő függvény grafikonját:

Látjuk, hogy ha úgy választjuk meg az x₁, x₂ értékeket, hogy x₁ < x₂ teljesüljön, akkor az is igaz, hogy f(x₁) < f(x₂). Most nézd meg a következő grafikont, ezúttal az $f(x)=\frac{1}{x}$ függvényét, amely például a ]0; +∞[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő:

Itt azt látjuk, hogy ha x₁ < x₂, akkor a függvényértékeikre fordítva f(x₁) > f(x₂) teljesül. Bár az x₁ kisebb, mint az x₂, mégis nagyobb függvényértéket „hoz létre”.

Még felsoroljuk a többi meghatározást:

• Az f függvény monoton növekvő, ha x₁ < x₂ esetén f(x₁) ≤ f(x₂). (A meghatározás hasonló a szigorúan monoton növekvő függvényéhez, csak megengedjük, hogy a függvény egy szakaszon állandó értéket vegyen fel.)
• Az f függvény monoton csökkenő, ha x₁ < x₂ esetén f(x₁) ≥ f(x₂).
• Az f függvény konstans, ha az értékkészlete egyelemű halmaz, vagyis ha bármely két x₁, x₂ esetén f(x₁) = f(x₂).

Példa monoton csökkenő függvényre az f(x) = |x|−x függvény:

Figyeld meg, hogy a ]−∞; 0[ intervallumon a függvény csökken, a maradék intervallumon viszont a függvény értéke állandó (nulla). Az egész értelmezési tartományon tehát monoton csökkenő függvényről van szó.

Páros és páratlan függvény

Egyes függvények bizonyos feltételek mellett lehetnek párosak vagy páratlanok. A legegyszerűbb, ha ismered a függvény grafikonját, azon ismerhető fel a leggyorsabban. A páros függvény ugyanis szimmetrikus az y tengelyre, a páratlan függvény viszont a (0; 0) origóra. Páros függvény például az y = x², páratlan függvény pedig például az y = 2x. A meghatározások így néznének ki – az f függvény

• páros, ha minden x ∈ D_f esetén f(x) = f(−x),
• páratlan, ha minden x ∈ D_f esetén −f(x) = f(−x).

A páros és páratlan függvényekről külön cikk szól: Páros és páratlan függvény.

Kölcsönösen egyértelmű függvény

A kölcsönösen egyértelmű (injektív) függvényt arról ismerjük fel, hogy minden függvényértéke egyedi, egyetlen függvényérték sem ismétlődik. Meghatározás:

Az f függvény kölcsönösen egyértelmű, ha minden x₁, x₂ ∈ D_f esetén

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Ha a függvény értelmezési tartományából két különböző x-et választunk, akkor a függvényértékeiknek mindig különbözniük kell.

Grafikusan ezt mindig teljesen egyszerűen felismerheted. Ha az x tengellyel párhuzamos egyenest húzol a grafikonon át, az legfeljebb egy pontban metszheti a grafikont. Kölcsönösen egyértelmű függvény például az y = 3x lineáris függvény. Bármelyik egyenest veszed, mindig pontosan egy pontban metszi a grafikont. Ennek az ellentéte például a szinusz függvény, amelynek a grafikonja valamiféle hullámokból áll, így ha az x tengellyel párhuzamos egyenest húzol, amely az y tengelyt az $\frac{1}{2}$ pontban metszi, végtelen sok metszéspontot találsz a grafikonnal, tehát nem kölcsönösen egyértelmű függvény.

Korlátos függvény

A függvények lehetnek korlátosak, mégpedig felülről korlátosak, alulról korlátosak, vagy felülről is, alulról is – az ilyen függvényt egyszerűen korlátos függvénynek nevezzük. Az f függvény felülről korlátos, ha találunk olyan A valós számot, amely nagyobb, mint az f függvény összes függvényértéke. Hasonlóan az alulról korlátos függvényre. A meghatározások tehát:

• Az f függvény felülről korlátos, ha létezik olyan A ∈ ℝ, hogy minden x ∈ D_f esetén A > f(x).
• Az f függvény alulról korlátos, ha létezik olyan A ∈ ℝ, hogy minden x ∈ D_f esetén A < f(x).

Grafikusan úgy képzelhetjük el, hogy olyan, az x tengellyel párhuzamos (vagyis vízszintes) egyenest keresünk, amely a függvény teljes grafikonja felett vagy alatt található.

Az ábrán az f(x) = x⁴ függvény grafikonja látható, amely alulról korlátos. Figyeld meg, hogy egyáltalán nem kell olyan A-t találnunk, amely a grafikonhoz a „legközelebb” van, elég az egyenest tetszőlegesen a grafikon alá tenni.

Minimum és maximum

Az f függvénynek az értelmezési tartomány M pontjában maximuma van, ha ebben az M pontban van a legnagyobb függvényérték a függvény összes függvényértéke közül. Hasonlóan a minimumra. Meghatározás:

• Az f függvénynek az M ∈ D_f pontban abszolút maximuma van, ha minden x ∈ D_f esetén f(x) ≤ f(M) – egyszerűen: a függvényérték az M pontban a legnagyobb. Ha csak egyetlen maximum létezik, szigorú maximumnak nevezzük.
• Az f függvénynek az m ∈ D_f pontban abszolút minimuma van, ha minden x ∈ D_f esetén f(x) ≥ f(m) – a függvényérték az m pontban a legkisebb.

A grafikonon a függvény maximumát és minimumát valószínűleg elég könnyen megtalálod, egyszerűen megnézed, hol van a függvény a legalacsonyabban vagy a legmagasabban. A függvénynek természetesen nem kell sem minimummal, sem maximummal rendelkeznie, vagy lehet csak minimuma, illetve csak maximuma, és az is előfordulhat, hogy a függvénynek csak helyi szélsőértékei vannak, de a teljes értelmezési tartományon nincs szélsőértéke.

Ha minimumokat és maximumokat kell keresned, használd a deriváltat, a pontos eljárást a függvényvizsgálat cikk írja le.

Példa

Határozd meg a függvény tulajdonságait a következő grafikon alapján:

• A függvény értelmezési tartománya a [−4; 4] intervallum.
• Az értékkészlet a [−2; 4] intervallum.
• A függvény ugyan úgy néz ki, mintha szigorúan monoton növekvő lehetne, de a [0; 2] szakaszon a függvény értéke állandó, ezért szigorúan monoton növekvő nem lehet. Viszont a függvény egyetlen intervallumon sem csökken, ezért monoton növekvő.
• A függvény grafikonja nem szimmetrikus sem az y tengelyre, sem a koordináta-rendszer origójára, tehát a függvény sem páros, sem páratlan.
• Kölcsönösen egyértelmű a függvény? Már elhangzott, hogy a [0; 2] szakaszon a függvény értéke állandó, ezért a függvény nem lehet kölcsönösen egyértelmű. Különböző x-ekre ugyanaz az y.
• A függvény korlátos, mégpedig felülről is, alulról is. Tudunk találni vízszintes egyenest, amely a teljes grafikon felett is, alatt is lesz.
• A megadott függvénynek van minimuma és maximuma is. A minimuma az m = −4 pontban, a maximuma az M = 4 pontban van.