Hasil kali silang

Hasil kali silang adalah operasi pada dua vektor di ruang yang menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut.

Apa itu hasil kali silang

Hasil kali silang (disebut juga hasil kali vektor) didefinisikan untuk dua vektor dan hanya di ruang. Berbeda dengan hasil kali skalar, hasil kali silang menghasilkan vektor lagi. Hasil kali silang vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ adalah vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ yang memiliki sifat-sifat berikut:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \sin \alpha ,$$

dengan α sudut antara vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Selain itu, vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ tegak lurus terhadap kedua vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Arahnya ditentukan oleh aturan tangan kanan. Untuk membedakan hasil kali silang dari hasil kali skalar, hasil kali silang ditulis dengan tanda ×: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Gambar ini menunjukkan contoh hasil kali silang $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Hasilnya adalah vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ yang tegak lurus terhadap kedua vektor. Kita berada di ruang, jadi vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ terletak pada satu bidang dan vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Jika salah satu vektor adalah kombinasi linear vektor yang lain, hasil kali silangnya sama dengan vektor nol. Inilah kasus ketika kedua vektor terletak pada satu garis. Jika sedikitnya salah satu vektor adalah vektor nol, hasil kalinya juga vektor nol.

Cara menentukan komponen vektor hasil

Sejauh ini kita bisa menghitung panjang dan arah vektor hasil. Namun, akan lebih praktis jika komponen vektor tersebut langsung diketahui. Rumusnya seperti ini:

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3,u_3{v}_1-v_3{u}_1,u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

Rumus ini cukup sulit dihafal, jadi ada cara bantu untuk mengingatnya:

Dengan tabel ini, vektor-vektor dapat dikalikan dengan mudah. Contoh: diberikan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(4,0,0)$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(0,5,0)$. Vektor pertama terletak seluruhnya pada sumbu x, sedangkan vektor kedua pada sumbu y. Hasil kali silangnya adalah:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{\mathbf{u}}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Vektor hasil $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ memiliki komponen (0, 0, 20). Kebenaran hasil ini dapat diperiksa dengan definisi pertama, yang menyatakan bahwa

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

Panjang vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ adalah 20. Jadi, menurut rumus harus berlaku:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

Kita substitusikan:

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Apa gunanya

Dengan hasil kali silang, kita dapat menemukan vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor lain. Kebenarannya dapat diperiksa lagi dengan hasil kali skalar, yang hasilnya harus nol. Pemeriksaan untuk contoh sebelumnya:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Kegunaan lainnya adalah menghitung luas jajargenjang di ruang. Jika di ruang terdapat jajargenjang ABCD dan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ dibentuk oleh sisi AB dan AD, luas jajargenjang adalah $L=|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$. Jika di ruang terdapat segitiga ABC dan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ dibentuk oleh sisi AB dan AC, luas segitiga adalah $L=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$.

Contoh: hitunglah luas segitiga di ruang dengan titik-titik sudut A(1, 0, 3), B(5, 6, 8), dan C(3, 5, 4).

Pertama, kita tentukan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4,6,5)\\ v& =& C-A=(2,5,1)\end{array}$$

Sekarang kita hitung hasil kali silangnya:

$$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=(-19,6,8)$$

Lalu panjangnya:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Terakhir, hasilnya kita bagi dua:

$$L(\mathrm{△}ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$