외적

외적(벡터곱)은 공간에서 두 벡터 사이에 하는 연산으로, 두 벡터에 모두 수직인 새로운 벡터를 돌려준다.

외적이란

외적은 두 벡터 사이에, 그리고 공간에서만 정의한다. 내적과 달리 외적의 결과는 다시 벡터이다. 벡터 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{v}$의 외적은 다음 성질을 가진 벡터 $\overrightarrow{w}$이다.

$$|\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \sin \alpha ,$$

여기서 α는 두 벡터 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{v}$가 이루는 각이다. 또 벡터 $\overrightarrow{w}$는 두 벡터 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{v}$에 모두 수직이다. 결과로 얻는 벡터의 방향은 오른손 법칙을 따른다. 외적을 내적과 구별하려고 외적에는 기호 ×를 써서 $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$로 나타낸다.

그림은 외적 $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$의 한 예를 보여 준다. 결과는 두 벡터에 모두 수직인 벡터 $\overrightarrow{w}$이다. 공간에서 생각하므로 두 벡터 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{v}$는 한 평면 위에 있고, 벡터 $\overrightarrow{w}$는 이 평면에 수직이다.

한 벡터가 다른 벡터의 일차결합이면 두 벡터의 외적은 영벡터이다. 이는 두 벡터가 한 직선 위에 있는 경우이다. 두 벡터 가운데 적어도 하나가 영벡터이면 외적도 영벡터이다.

외적의 성분 구하기

지금까지는 외적의 크기와 방향만 알 수 있었다. 하지만 그 벡터의 성분을 바로 아는 편이 더 실용적이다. 공식은 다음과 같다.

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3,u_3{v}_1-v_3{u}_1,u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

이 공식은 꽤 외우기 어려우므로 기억을 돕는 방법이 있다.

이 표를 이용하면 벡터를 깔끔하게 곱할 수 있다. 예를 들어 벡터 $\overrightarrow{u}=(4,0,0)$과 $\overrightarrow{v}=(0,5,0)$이 있다. 각각 x축과 y축 위에 놓인 벡터이다. 두 벡터의 외적은 다음과 같다.

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{u}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{v}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

결과로 얻는 벡터 $\overrightarrow{w}$의 성분은 (0, 0, 20)이다. 결과가 맞는지는 처음의 정의로 확인할 수 있다. 정의에 따르면 다음이 성립한다.

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

벡터 $\overrightarrow{w}$의 크기는 20이다. 따라서 공식에 따라 다음이 성립해야 한다.

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

대입하면 다음과 같다.

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

어디에 쓸까

외적을 이용하면 두 벡터에 모두 수직인 벡터를 찾을 수 있다. 정말 그런지는 내적으로 확인할 수 있다. 결과가 0이어야 한다. 앞의 예로 확인하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

또 다른 쓰임새는 공간에서 평행사변형의 넓이를 구하는 것이다. 공간에 평행사변형 ABCD가 있고 변 AB, AD를 나타내는 벡터를 각각 $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$라고 하면, 평행사변형의 넓이는 $S=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$이다. 공간에 삼각형 ABC가 있고 변 AB, AC를 나타내는 벡터를 각각 $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$라고 하면, 삼각형의 넓이는 $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$이다.

예: 꼭짓점이 A(1, 0, 3), B(5, 6, 8), C(3, 5, 4)인 공간의 삼각형의 넓이를 구하시오.

먼저 벡터 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{v}$를 구해야 한다.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4,6,5)\\ v& =& C-A=(2,5,1)\end{array}$$

이제 두 벡터의 외적을 구한다.

$$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=(-19,6,8)$$

그다음 크기를 구한다.

$$|\overrightarrow{w}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\fallingdotseq 21.47$$

마지막으로 결과를 2로 나눈다.

$$S(\mathrm{△}ABC)=\frac{21.47}{2}=10.735$$