Tích có hướng

Tích có hướng là phép toán giữa hai vectơ trong không gian, cho kết quả là một vectơ mới vuông góc với cả hai vectơ đó.

Tích có hướng là gì

Tích có hướng được định nghĩa cho hai vectơ và chỉ trong không gian. Khác với tích vô hướng, kết quả của tích có hướng lại là một vectơ. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là vectơ $\overrightarrow{w}$ có các tính chất sau:

$$|\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \sin \alpha ,$$

trong đó α là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$. Ngoài ra, vectơ $\overrightarrow{w}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$. Hướng của vectơ kết quả xác định theo quy tắc bàn tay phải. Để phân biệt tích có hướng với tích vô hướng, ở đây ta dùng dấu ×: $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$. (Sách giáo khoa Việt Nam kí hiệu tích có hướng bằng dấu ngoặc vuông.)

Hình vẽ minh hoạ một tích có hướng $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$. Kết quả là vectơ $\overrightarrow{w}$ vuông góc với cả hai vectơ. Ta đang xét trong không gian: hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ nằm trong một mặt phẳng, còn vectơ $\overrightarrow{w}$ vuông góc với mặt phẳng đó.

Nếu một vectơ là tổ hợp tuyến tính của vectơ kia thì tích có hướng của chúng bằng vectơ-không. Đây là trường hợp hai vectơ cùng phương. Nếu ít nhất một trong hai vectơ là vectơ-không thì tích có hướng cũng là vectơ-không.

Cách tìm toạ độ của vectơ tích

Đến đây ta mới biết cách tính độ dài và hướng của vectơ tích. Tuy nhiên, biết trực tiếp toạ độ của vectơ đó thì tiện hơn. Công thức như sau:

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3;u_3{v}_1-v_3{u}_1;u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

Công thức này khá khó nhớ, vì vậy có một mẹo ghi nhớ:

Nhờ bảng này, ta có thể nhân các vectơ rất gọn. Ví dụ: cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=(4;0;0)$ và $\overrightarrow{v}=(0;5;0)$. Hai vectơ này lần lượt nằm trên trục x và trục y. Tích có hướng của chúng bằng:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{u}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{v}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Vectơ kết quả $\overrightarrow{w}$ có toạ độ (0; 0; 20). Có thể kiểm tra kết quả bằng định nghĩa ban đầu:

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

Vectơ $\overrightarrow{w}$ có độ dài 20. Theo công thức, phải có:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

Thay số:

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Ứng dụng

Rõ ràng nhờ tích có hướng, ta tìm được một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước. Có thể kiểm tra điều đó bằng tích vô hướng: kết quả phải bằng 0. Kiểm tra với ví dụ trên:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Một ứng dụng khác là tính diện tích hình bình hành trong không gian. Cho hình bình hành ABCD trong không gian và hai vectơ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ tạo bởi các cạnh AB và AD. Khi đó diện tích hình bình hành là $S=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$. Với tam giác ABC trong không gian và hai vectơ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ tạo bởi các cạnh AB và AC, diện tích tam giác là $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$.

Ví dụ: tính diện tích tam giác trong không gian có các đỉnh A(1; 0; 3), B(5; 6; 8) và C(3; 5; 4).

Trước hết ta xác định hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4;6;5)\\ v& =& C-A=(2;5;1)\end{array}$$

Tính tích có hướng của chúng:

$$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=(-19;6;8)$$

Tiếp theo là độ dài:

$$|\overrightarrow{w}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Cuối cùng chia kết quả cho 2:

$$S(\mathrm{△}ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$