Hasil kali skalar

Hasil kali skalar didefinisikan untuk dua vektor dan menggambarkan hubungan antara panjang kedua vektor dan sudut di antara keduanya.

Hasil kali skalar

Hasil kali skalar (disebut juga hasil kali titik) didefinisikan untuk dua vektor. Lambangnya sama seperti perkalian biasa, yaitu titik di tengah: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Hasil kali skalar menghasilkan bilangan real, bukan vektor. Untuk dua vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$, hasil kali skalarnya adalah:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Jika sedikitnya salah satu vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ adalah vektor nol, hasil kalinya didefinisikan sebagai berikut:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0$$

Apa makna geometris hasil kali skalar? Untuk hasil kali skalar dua vektor juga berlaku

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha ,$$

dengan α besar sudut antara kedua vektor. Rumus ini memberi cara mudah untuk menentukan besar sudut antara dua vektor. Jika kosinus kita isolasi dari rumus ini, diperoleh rumus:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Rumus ini berlaku pada bidang. Di ruang, kita harus menambahkan satu dimensi lagi. Sekarang makna geometris hasil kali skalar sudah dapat digambarkan.

Jika vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ dikalikan secara skalar, lalu hasilnya dibagi dengan panjang vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, diperoleh panjang ruas garis AD. Panjang ini adalah panjang proyeksi vektor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ pada arah vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Memeriksa sudut siku-siku

Hasil kali skalar dapat dipakai untuk memeriksa apakah sudut antara dua vektor sama dengan 90°. Kapan hasil kali skalar sama dengan nol? Coba lihat rumusnya…

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha$$

… maka terlihat bahwa hasil kali $|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|$ jelas selalu tidak nol (sudut antara vektor nol tidak didefinisikan, jadi sekarang kita hanya membahas vektor yang bukan vektor nol). Panjang vektor selalu positif, begitu pula hasil kalinya. Satu-satunya bagian yang dapat membuat seluruh bentuk itu bernilai nol adalah kosinus. Kapan kosinus sama dengan nol? Jika sudutnya 90° (atau 270°, tetapi sudut siku-sikunya ada di sisi lain). Jadi, dua vektor membentuk sudut siku-siku jika dan hanya jika hasil kali skalarnya sama dengan nol.

Contoh: diberikan tiga vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(-2,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(2,1),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(1,4)$. Vektor mana saja yang saling tegak lurus? Kita hitung hasil kali skalar setiap pasangan vektor satu per satu:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Menurut hasil kali skalar, sudut siku-siku hanya terbentuk antara vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ dan ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2$. Kamu bisa melihat vektor-vektor ini pada gambar berikut:

Sekarang kita coba menghitung sudut antara vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ dan ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3$. Kita cukup menyubstitusikan nilainya ke dalam rumus:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Besar sudutnya diperoleh dengan menghitung invers kosinus (arccos). Hasilnya adalah sudut sekitar 40°.