Operasi vektor

Pada vektor, kita dapat melakukan operasi dasar seperti penjumlahan dan perkalian.

Penjumlahan vektor

Untuk menjumlahkan dua vektor, kita letakkan keduanya di titik asal sistem koordinat, lalu kita lengkapi menjadi jajargenjang. Diagonal yang berpangkal di titik asal adalah vektor hasil penjumlahannya (resultan). Tentu saja ada gambar yang menjelaskannya:

Secara analitis, jumlah dua vektor adalah jumlah komponen-komponen yang bersesuaian. Jadi, jika kamu memiliki dua vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$, jumlah $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}$ sama dengan

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

Untuk vektor-vektor pada gambar berlaku $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(4,1)$. Jumlahnya adalah $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2+4,4+1)=(6,5)$. Komponen ini sama dengan koordinat titik D.

Mengurangkan vektor sama saja dengan menjumlahkan vektor negatifnya (lawannya). Secara analitis:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}-\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

Jika kita menjumlahkan vektor-vektor yang terletak pada satu garis dan searah, vektor hasilnya cukup diperpanjang. Jika arahnya berlawanan, panjang keduanya dikurangkan. Hal ini lebih jelas terlihat pada gambar:

Penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Terdapat vektor $\overrightarrow{\mathbf{0}}$, yang disebut vektor nol, sehingga berlaku $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{0}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$, mirip seperti pada bilangan. Untuk setiap vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ terdapat vektor negatif $-\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yang memenuhi $\overrightarrow{\mathbf{u}}+(-\overrightarrow{\mathbf{u}})=\overrightarrow{\mathbf{0}}$.

Perkalian vektor dengan skalar

Jika vektor dikalikan dengan bilangan real k, kedua komponennya cukup dikalikan dengan k. Secara geometris, vektor menjadi “lebih panjang” atau “lebih pendek”, dan arahnya berbalik jika k negatif.

Dari gambar terlihat hal berikut saat vektor u dikalikan dengan bilangan k:

• Jika nilai mutlak k kurang dari satu, vektornya menjadi lebih pendek.
• Jika nilai mutlak k lebih dari satu, vektornya menjadi lebih panjang.
• Jika k negatif, arah vektornya berlawanan.

Kombinasi linear vektor

Dalam aljabar linear, kita sering menggunakan kombinasi linear vektor. Jika diberikan vektor-vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3,\dots$, kombinasi linear vektor-vektor tersebut adalah

• hasil kali salah satu vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ dengan bilangan k,
• jumlah dua vektor atau lebih,
• gabungan keduanya: kita dapat menjumlahkan hasil kali vektor-vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ mana pun dengan bilangan k_n.

Jika diberikan vektor-vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,\dots ,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$, vektor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ adalah kombinasi linear vektor-vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ jika berlaku:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=c_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Perhatikan bahwa koefisien c_i adalah bilangan real. Jadi, kita boleh memilih nol sebagai koefisien, sehingga salah satu vektor hilang sama sekali. Contoh: diberikan vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(1,3),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(0,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(7,2)$. Berikut beberapa kombinasi linear yang mungkin:

$$\begin{array}{rcl}(8,9)& =& 1\cdot (1,3)+1\cdot (0,4)+1\cdot (7,2)\\ (22,17)& =& 1\cdot (1,3)+2(0,4)+3(7,2)\\ (68,38)& =& -2(1,3)+6(0,4)+10(7,2)\\ (-\frac{1}{2},-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1,3)-5(0,4)+0(7,2)\end{array}$$