Kombinasi linear vektor

Kombinasi linear adalah cara membentuk vektor baru dari suatu himpunan vektor hanya dengan penjumlahan dan perkalian.

Apa itu kombinasi linear

Misalkan diberikan suatu ruang vektor V. Kita tahu bahwa ruang tersebut tertutup terhadap operasi penjumlahan vektor, sehingga untuk dua vektor x, y ∈ V selalu berlaku x + y ∈ V. Jika dua vektor dijumlahkan, kita kembali memperoleh vektor dari ruang yang sama. Hal yang sama berlaku untuk perkalian dengan skalar. Jika diberikan suatu k ∈ ℝ, maka juga k · x ∈ V.

Kedua operasi ini dapat kita gabungkan — kita ambil k, l ∈ ℝ, dan bentuk k · x + l · y kembali menghasilkan vektor baru, yang kita beri lambang v, dan vektor v ini juga terletak dalam ruang V. Mengapa? k · x ∈ V, dan tentu juga l · y ∈ V. Kita menjumlahkan dua vektor ruang V, sehingga menurut definisi kita pasti memperoleh vektor dari ruang V.

Jadi, kita dapat mengatakan bahwa vektor v adalah kombinasi linear vektor x dan y. Secara umum: jika diberikan vektor x₁, x₂, …, x_n dan bilangan real k₁, k₂, …, k_n, yang disebut koefisien, kombinasi linear vektor-vektor ini adalah vektor v yang diperoleh dari

$$\mathbf{v}=k_1\cdot {\mathbf{x}}_1+k_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +k_n\cdot {\mathbf{x}}_n.$$

Contoh: kita ambil ruang ℝ² dan dua vektor darinya: (2, 3) dan (0, 8). Sekarang kita pilih koefisien: k₁ = 2, k₂ = 5. Kombinasi linear vektor-vektor ini dengan koefisien k₁, k₂ menghasilkan vektor

$$2\cdot (2,3)+5\cdot (0,8)=(4,6)+(0,40)=(4,46)$$

Terlihat bahwa kita memperoleh vektor (4, 46), yang termasuk dalam ruang ℝ². Jika kita memilih koefisien lain, kita akan memperoleh vektor lain. Untuk k₁ = 0, k₂ = −1 kita peroleh:

$$0\cdot (2,3)-1\cdot (0,8)=(0,0)+(0,-8)=(0,-8)$$

Vektor-vektor yang bergantung linear

Kombinasi linear berkaitan dengan vektor-vektor yang bergantung linear atau bebas linear. Kita tunjukkan dengan contoh: misalkan diberikan ruang vektor ℝ² dan himpunan vektor Q dari ruang ini:

$$Q=\{(1,1),(2,4),(3,5),(10,18)\}$$

Sekarang kita ingin tahu apakah salah satu dari keempat vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear tiga vektor lainnya. Jika kita perhatikan vektor-vektornya, terlihat bahwa vektor (3, 5) sama dengan jumlah biasa dua vektor pertama.

$$(1,1)+(2,4)=(3,5)$$

Jadi, vektor (3, 5) adalah kombinasi linear vektor (1, 1) dan (2, 4). Supaya lebih menarik, vektor ini kita hapus dari himpunan Q. Kita memperoleh himpunan baru Q₁ yang berbentuk:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

Apakah masih ada vektor yang merupakan kombinasi linear vektor-vektor lainnya? Ya, vektor (10, 18) adalah kombinasi linear dua vektor pertama untuk k₁ = 2, k₂ = 4:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)=(2,2)+(8,16)=(10,18)$$

Vektor ini juga kita hapus, dan kita peroleh:

$$Q_2=\{(1,1),(2,4)\}$$

Kita bertanya lagi — dapatkah salah satu vektor diperoleh sebagai kombinasi vektor yang lain? Tidak, tidak ada kelipatan vektor (1, 1) yang sama dengan vektor (2, 4).

Kita memperoleh himpunan vektor yang tidak satu pun vektornya dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor-vektor lainnya. Himpunan seperti ini disebut himpunan vektor yang bebas linear. Jika suatu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi vektor-vektor lainnya, vektor tersebut disebut vektor yang bergantung linear. Jika tidak dapat dinyatakan demikian, vektor tersebut disebut vektor yang bebas linear.

Vektor nol

Vektor nol 0 memegang peran penting dalam kebergantungan linear. Kita kembali ke himpunan vektor Q₁ dan ruang ℝ². Himpunan Q₁ berbentuk:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

dan kita sudah tahu bahwa vektor (10, 18) bergantung linear, karena 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) = (10, 18). Jadi, apa yang terjadi jika dari bentuk 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) kita kurangkan vektor (10, 18)? Atau dengan kata lain, jika kita tambahkan vektor tersebut dikalikan −1? Bentuknya menjadi seperti ini:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)$$

Bentuk ini tentu sama dengan vektor nol:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)=(0,0)$$

Dari sini kita dapat menyimpulkan sifat yang menarik. Jika himpunan vektor x₁, x₂, …, x_n bergantung linear, ada koefisien real a₁, a₂, …, a_n sedemikian sehingga

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Dalam hal ini, paling sedikit satu koefisien a_i harus tidak nol. Jika untuk semua koefisien kita substitusikan nol, kita selalu memperoleh persamaan yang benar, sehingga setiap himpunan vektor akan bergantung linear, dan itu tentu tidak masuk akal. Alasan persamaan di atas sederhana. Jika, misalnya, vektor x₁ bergantung linear, artinya

$$a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n={\mathbf{x}}_1$$

Pada persamaan ini cukup kita tambahkan −x₁, dan kita peroleh

$$-1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Cara memeriksa apakah vektor-vektor bergantung linear

Jika diberikan vektor x₁, x₂, …, x_n dan kita ingin mengetahui apakah vektor-vektor itu bergantung linear atau bebas linear, cukup kita selesaikan persamaan tadi

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

yaitu mencari koefisien a_i. Jika kita bekerja dalam ruang ℝ³, kita bisa memiliki vektor-vektor berikut: (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Karena kita ingin mengetahui apakah vektor-vektor ini bergantung linear, kita selesaikan persamaan berikut:

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Persamaan ini cukup kita jabarkan menurut definisi penjumlahan vektor dan perkalian vektor. Berlaku a₁ · (1, 2, 3) = (a₁, 2a₁, 3a₁), dan seterusnya. Kita jabarkan seperti ini:

$$(a_1,2a_1,3a_1)+(2a_2,a_2,7a_2)+(a_3,-4a_3,5a_3)=(0,0,0)$$

Sekarang kita jabarkan penjumlahannya. Kita selalu menjumlahkan komponen pada posisi yang sama: komponen pertama vektor pertama a₁, komponen pertama vektor kedua 2a₂, dan komponen pertama vektor ketiga a₃, dan jumlahnya harus sama dengan komponen pertama vektor nol, yaitu nol. Hal yang sama berlaku untuk komponen kedua dan ketiga. Kita memperoleh sistem persamaan linear:

$$\begin{array}{}{a}_1& +& 2a_2& +& a_3& =& 0\\ 2a_1& +& a_2& +& -4a_3& =& 0\\ 3a_1& +& 7a_2& +& 5a_3& =& 0\end{array}$$

Sistem ini dapat kita tulis dalam matriks biasa:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)$$

Perhatikan bahwa kolom-kolom matriks ini sebenarnya berisi vektor-vektor semula. Di kolom pertama matriks ada vektor semula (1, 2, 3), di kolom ketiga ada vektor (1, −4, 5), dan seterusnya. Jadi, saat menghitung, kamu tidak harus selalu melakukan semua langkah rumit ini; matriks ini bisa langsung kamu bentuk dengan menyusun vektor-vektor yang ingin diperiksa kebergantungannya sebagai kolom, lalu menambahkan kolom nol.

Sistem ini dapat kita selesaikan dengan metode eliminasi Gauss. Matriksnya kita ubah ke bentuk eselon baris. Pertama, pada baris kedua kita tambahkan −2 kali baris pertama, dan pada baris ketiga kita tambahkan −3 kali baris pertama:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Sekarang pada baris kedua kita bisa menambahkan 3 kali baris ketiga:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Sebenarnya kita tidak perlu menghitung lebih jauh: kita berhasil membuat satu baris nol, yang menunjukkan bahwa vektor-vektor ini bergantung linear. Namun, sistemnya bisa kita selesaikan sampai tuntas. Kita pilih parameter a₃ = t. Dari persamaan

$$a_2+2a_3=0$$

yaitu baris terakhir matriks, dengan menyubstitusikan a₃ = t kita peroleh persamaan:

$$\begin{array}{rcl}{a}_2+2t& =& 0\\ a_2& =& -2t\end{array}$$

Sekarang nilai-nilai ini kita substitusikan ke persamaan pertama, yaitu ke baris pertama matriks:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1+2a_2+a_3& =& 0\\ a_1-4t+t& =& 0\\ a_1& =& 3t\end{array}$$

Jadi, kita memperoleh a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Jika untuk t kita substitusikan, misalnya, t = 3, kita memperoleh satu penyelesaian konkret a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Koefisien-koefisien ini dapat kita substitusikan ke persamaan semula

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

dan kita peroleh:

$$9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Kita sederhanakan ruas kiri:

$$\begin{array}{rcl}9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)& =& (0,0,0)\\ (9,18,27)+(-12,-6,-42)+(3,-12,15)& =& (0,0,0)\\ (9-12+3,18-6-12,27-42+15)& =& (0,0,0)\\ (0,0,0)& =& (0,0,0)\end{array}$$

Terlihat bahwa jika sebagai koefisien kita pilih, misalnya, a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3, dari vektor-vektor (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5) kita memperoleh vektor nol. Jika sistem hanya memiliki satu penyelesaian, yaitu penyelesaian nol, vektor-vektornya bebas linear.