Kedudukan garis terhadap lingkaran

Pada bidang, garis dan lingkaran hanya dapat bertemu dengan tiga cara. Garis dapat memotong lingkaran di dua titik, dan garis seperti ini disebut garis sekan (garis potong). Garis juga dapat hanya menyentuh lingkaran di satu titik, dan disebut garis singgung. Atau garis lewat di luar lingkaran sehingga keduanya tidak memiliki titik persekutuan sama sekali; garis seperti ini disebut garis luar. Tidak ada kemungkinan lain, karena garis dan lingkaran tidak mungkin memiliki tiga titik persekutuan. Contoh garis singgung yang bagus adalah roda yang berdiri di jalan: roda hanya menyentuh jalan di satu titik.

Pada gambar, garis biru p adalah garis sekan, garis merah t garis singgung, dan garis hijau q garis luar. Titik-titik persekutuan ditandai jingga. Ketiga garis sejajar dan hanya berbeda jaraknya dari pusat O. Justru jarak inilah yang menentukan.

Menurut jarak dari pusat

Jarak pusat ke garis adalah panjang jalan terpendek dari pusat ke garis. Jalan ini selalu tegak lurus: dari pusat kita tarik garis tegak lurus ke garis tersebut, lalu kita ukur ruas garis dari pusat sampai titik potongnya. Ke titik lain mana pun pada garis, jaraknya dari pusat lebih jauh, karena ruas garis seperti itu adalah sisi miring segitiga siku-siku, dan sisi miring lebih panjang daripada sisi siku-sikunya. Pada gambar, garis-garis tegak lurus ini digambar abu-abu putus-putus, dan sudut siku-siku pada setiap garis ditandai busur bertitik.

Misalkan jarak ini d. Kita bandingkan dengan jari-jari r:

• d < r: garis lebih dekat ke pusat daripada jari-jari, sehingga garis masuk ke dalam lingkaran dan keluar lagi. Garis ini adalah garis sekan.
• d = r: garis hanya menyentuh lingkaran. Garis ini adalah garis singgung.
• d > r: garis lebih jauh dari pusat daripada jangkauan lingkaran. Garis ini adalah garis luar.

Pada garis singgung, garis tegak lurus dari pusat tepat melalui titik singgung. Karena itu, garis singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari yang menuju titik singgung.

Jarak pusat ke garis ditentukan dengan rumus jarak titik ke garis. Untuk titik O(m, n) dan garis ax + by + c = 0 berlaku:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Rumus ini memerlukan garis dalam bentuk umum. Jika garis diberikan, misalnya, sebagai y = x + 1, kita harus mengubahnya dulu menjadi x − y + 1 = 0. Kalau tidak, bilangan yang kita substitusikan akan salah.

Mari kita coba rumus ini pada lingkaran x² + y² = 25 dan garis 3x − 4y − 25 = 0. Menurut persamaan lingkaran, lingkaran ini berpusat di titik asal O(0, 0) dan jari-jarinya $r=\sqrt{25}=5$. Dari persamaan garis, kita baca a = 3, b = −4, dan c = −25, lalu kita substitusikan:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

Lalu kita selesaikan:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Hasilnya 5, tepat sama dengan jari-jari, jadi garis ini adalah garis singgung lingkaran.

Pada gambar, jarak d digambar merah. Garis tegak lurus dari pusat sama panjang dengan jari-jari, sehingga berakhir tepat pada lingkaran, di titik T tempat garis menyinggung lingkaran.

Cara ini cepat dan cocok jika kita hanya perlu mengetahui kedudukan garis terhadap lingkaran. Namun, cara ini tidak memberi tahu di mana tepatnya garis memotong atau menyinggung lingkaran. Untuk itu kita harus berhitung.

Menghitung titik persekutuan

Titik persekutuan garis dan lingkaran harus memenuhi kedua persamaan sekaligus. Jadi, kita menyelesaikan sistem persamaan, sama seperti pada kedudukan dua garis: dari persamaan garis kita nyatakan satu variabel, lalu kita substitusikan ke persamaan lingkaran. Hasilnya adalah persamaan kuadrat, dan banyaknya penyelesaian persamaan itu sama dengan banyaknya titik persekutuan garis dan lingkaran. Banyaknya penyelesaian ditunjukkan oleh diskriminan:

• D > 0: dua penyelesaian, garis adalah garis sekan,
• D = 0: satu penyelesaian (akar kembar), garis adalah garis singgung,
• D < 0: tidak ada penyelesaian, garis adalah garis luar.

Contoh pertama: Diberikan lingkaran x² + y² = 25 dan garis y = x + 1. Kita substitusikan bentuk x + 1 untuk y dalam persamaan lingkaran:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Kita kuadratkan tanda kurungnya:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Kita jumlahkan, lalu semuanya kita pindahkan ke ruas kiri:

$$2x^2+2x-24=0$$

Seluruh persamaan kita bagi dua:

$$x^2+x-12=0$$

Kita hitung diskriminannya:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Diskriminannya positif, jadi garis ini adalah garis sekan. Akar-akarnya adalah

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

yaitu x₁ = 3 dan x₂ = −4. Namun, pekerjaan belum selesai: kita mencari titik secara utuh, bukan hanya koordinat pertamanya. Koordinat kedua diperoleh dari persamaan garis y = x + 1: untuk x = 3 diperoleh y = 4, dan untuk x = −4 diperoleh y = −3. Jadi, garis memotong lingkaran di titik P(3, 4) dan Q(−4, −3).

Pemeriksaan untuk titik P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Cocok, titik ini terletak pada lingkaran.

Contoh kedua: Ambil lagi garis 3x − 4y = 25 dari bagian sebelumnya. Kita sudah tahu bahwa garis ini adalah garis singgung, jadi sekarang tinggal mencari titik singgungnya. Pertama, kita nyatakan y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Kita substitusikan ke persamaan lingkaran:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Kita kuadratkan pecahannya, pembilang dan penyebut secara terpisah:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Agar pecahannya hilang, seluruh persamaan kita kalikan enam belas:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Suku-suku sejenis kita gabungkan dan kita pindahkan ke ruas kiri:

$$25x^2-150x+225=0$$

Kita bagi dengan dua puluh lima:

$$x^2-6x+9=0$$

Diskriminannya:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Hasilnya nol, jadi garis ini adalah garis singgung. Hal ini sudah kita ketahui, tetapi ada baiknya melihat bahwa kedua cara memberikan hasil yang sama. Satu-satunya akar (akar kembar) adalah $x=\frac{6}{2}=3$, dan setelah disubstitusikan ke $y=\frac{3x-25}{4}$ diperoleh $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Titik singgungnya adalah T(3, −4).

Contoh ketiga: Coba garis y = x + 10. Setelah disubstitusikan ke x² + y² = 25, diperoleh persamaan 2x² + 20x + 75 = 0 dengan diskriminan D = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Diskriminan negatif berarti persamaan tidak memiliki penyelesaian, jadi garis ini adalah garis luar.