Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yaitu pusat lingkaran. Lingkaran juga termasuk irisan kerucut.

Unsur-unsur lingkaran

Perhatikan gambar lingkaran berikut:

Lingkaran biasanya ditandai dengan huruf kecil k atau l.

• Setiap lingkaran memiliki pusat, yang ditandai dengan O.
• Semua titik pada lingkaran berjarak sama dari pusat O. Jarak ini disebut jari-jari lingkaran dan ditandai dengan r. Pada gambar, jari-jarinya adalah ruas garis AO.
• Ruas garis yang menghubungkan dua titik berbeda pada lingkaran disebut tali busur. Pada gambar, tali busurnya adalah ruas garis FG.
• Tali busur yang melalui pusat O disebut diameter lingkaran dan ditandai dengan d. Berlaku 2r = d.

Selain itu, kita juga mengenal daerah di dalam dan daerah di luar lingkaran. Daerah di dalam lingkaran adalah himpunan semua titik yang jaraknya dari pusat kurang dari jari-jari lingkaran. Daerah di luar lingkaran adalah semua titik yang jaraknya dari pusat lebih dari jari-jari. Gabungan lingkaran dan daerah di dalamnya disebut daerah lingkaran (dalam bahasa sehari-hari juga disebut lingkaran saja).

Keliling dan luas

Apa hubungan antara diameter lingkaran dan keliling lingkaran? Berapa kali keliling lingkaran lebih besar daripada diameternya? Jika kamu mengambil benda berbentuk lingkaran lalu mengukur diameternya dan kemudian kelilingnya, kamu akan mendapati bahwa kelilingnya kira-kira tiga kali diameternya. Lebih tepatnya 3,1415 kali, dan lebih tepat lagi π kali.

Bilangan π (dibaca pi) adalah bilangan irasional, yaitu bilangan yang bentuk desimalnya tak berhingga dan tidak berulang. Jadi, jika diameter lingkaran diberikan sebagai bilangan bulat, kelilingnya tidak akan pernah dapat diketahui dengan tepat. Namun, dalam kehidupan sehari-hari, nilai hampirannya sudah lebih dari cukup.

Rumus keliling lingkaran adalah sebagai berikut:

$$K=\pi d=2\pi r$$

Rumus luas lingkaran:

$$L=\pi r^2$$

Kedudukan dua lingkaran

• Lingkaran sepusat memiliki pusat yang sama, yaitu O. Lingkaran yang tidak sepusat adalah lingkaran-lingkaran yang pusatnya berbeda. Ruas garis yang menghubungkan kedua pusatnya disebut garis pusat.

• Lingkaran k₁ terletak di luar k₂, kedua lingkaran tidak memiliki titik persekutuan.

• Lingkaran k₁ terletak di luar k₂, tetapi keduanya bersinggungan di satu titik.

• Kedua lingkaran berpotongan di dua titik.

• Lingkaran k₁ terletak di dalam k₂, dan keduanya bersinggungan di satu titik.

• Lingkaran k₁ terletak di dalam k₂.

Busur

Setiap tali busur dengan titik ujung A dan B membagi lingkaran menjadi dua bagian yang disebut busur. Setiap titik pada lingkaran, kecuali titik A dan B, adalah titik dalam salah satu busur. Busur kemudian ditulis, misalnya, AXB, dengan X titik dalam busur tersebut.

Jika tali busur itu sekaligus diameter, lingkaran terbagi menjadi dua busur yang sama besar, yang disebut setengah lingkaran. Jika tidak, lingkaran selalu terbagi menjadi dua busur yang berbeda ukurannya.

Sudut pusat

Misalkan diberikan lingkaran k yang berpusat di titik O dan busur AB. Sudut AOB disebut sudut pusat yang menghadap busur AB. Sudut pusat yang menghadap busur yang lebih kecil adalah sudut konveks (besarnya kurang dari 180°), sedangkan sudut pusat yang menghadap busur yang lebih besar adalah sudut refleks (lebih dari 180°).

Pada lingkaran di gambar ditandai dua busur AB. Busur yang lebih besar bersesuaian dengan sudut α, dan busur yang lebih kecil dengan sudut β.

Sudut keliling

Misalkan diberikan lingkaran k yang berpusat di titik O dan busur AB. Pilih titik V yang tidak terletak pada busur tersebut, tetapi terletak pada lingkaran. Sudut AVB disebut sudut keliling.

Pada gambar terdapat dua sudut keliling, yaitu AV₁B dan AV₂B. Perhatikan bahwa keduanya sama besar — 60° — dan besarnya setengah dari besar sudut pusat — 120°.