원과 직선의 위치 관계

평면에서 직선과 원의 위치 관계는 세 가지뿐이다. 직선이 원과 두 점에서 만나면 할선이라고 한다. 한 점에서만 닿으면 접선이다. 원과 아예 떨어져 지나가서 공유점이 하나도 없으면 원과 만나지 않는 직선이다. 다른 경우는 없다. 직선과 원은 공유점을 세 개 가질 수 없다. 접선의 좋은 예는 도로 위에 서 있는 바퀴이다. 바퀴는 도로와 한 점에서만 닿는다.

그림에서 파란 직선 p는 할선, 빨간 직선 t는 접선, 초록 직선 q는 원과 만나지 않는 직선이다. 공유점은 주황색으로 표시했다. 세 직선은 모두 평행하고, 중심 S까지의 거리만 서로 다르다. 그리고 바로 그 거리가 중요하다.

중심까지의 거리로 판단하기

중심과 직선 사이의 거리는 중심에서 직선까지 가는 가장 짧은 길의 길이이다. 가장 짧은 길은 언제나 수직으로 간다. 중심에서 직선에 수선을 내리고, 중심에서 수선의 발까지의 선분의 길이를 잰다. 직선 위의 다른 점까지는 중심에서 더 멀다. 그런 선분은 직각삼각형의 빗변이고, 빗변은 직각을 낀 변보다 길기 때문이다. 그림에서 이 수선은 회색 점선이고, 각 직선의 직각은 점을 찍은 호로 표시했다.

이 거리를 d라고 하고 반지름 r과 비교하자.

• d < r – 직선이 반지름보다 중심에 가까우므로 원 안으로 들어갔다가 밖으로 나온다. 할선이다.
• d = r – 직선이 원에 닿기만 한다. 접선이다.
• d > r – 직선이 원이 닿는 범위보다 중심에서 멀다. 원과 만나지 않는 직선이다.

접선에서는 수선이 접점을 지나므로, 접선은 언제나 접점을 지나는 반지름에 수직이다.

중심과 직선 사이의 거리는 점과 직선 사이의 거리 공식으로 구한다. 점 S(m, n)과 직선 ax + by + c = 0에 대해 다음이 성립한다.

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

이 공식에는 일반형으로 나타낸 직선이 필요하다. 예를 들어 직선이 y = x + 1로 주어지면 먼저 x − y + 1 = 0으로 바꿔야 한다. 그렇지 않으면 엉뚱한 수를 대입하게 된다.

원 x² + y² = 25와 직선 3x − 4y − 25 = 0으로 공식을 확인해 보자. 원의 방정식에 따르면 이 원의 중심은 원점 S(0, 0)이고 반지름은 $r=\sqrt{25}=5$이다. 직선의 방정식에서 a = 3, b = −4, c = −25를 읽고 대입한다.

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

계산을 마저 하면 다음과 같다.

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

5, 즉 반지름과 같은 값이 나왔으므로 이 직선은 원의 접선이다.

그림에서 거리 d는 빨간색이다. 중심에서 내린 수선의 길이가 반지름과 같으므로 수선은 원 위의 점 T에서 끝나고, 이 점에서 직선이 원에 접한다.

이 방법은 빠르고, 직선이 원에 대해 어떤 위치에 있는지만 알면 될 때 쓰기 좋다. 하지만 직선이 원과 정확히 어디서 만나거나 접하는지는 알려 주지 않는다. 그러려면 계산해야 한다.

공유점 구하기

직선과 원의 공유점은 두 방정식을 동시에 만족해야 하므로 연립방정식을 푼다. 두 직선의 위치 관계에서와 마찬가지로 직선의 방정식에서 미지수 하나를 나타내 원의 방정식에 대입한다. 그러면 이차방정식이 나오고, 그 해의 개수만큼 직선과 원의 공유점이 있다. 해의 개수는 판별식이 알려 준다.

• D > 0 – 해가 두 개이므로 직선은 할선이다.
• D = 0 – 해가 하나(중근)이므로 직선은 접선이다.
• D < 0 – 해가 없으므로 직선은 원과 만나지 않는다.

첫 번째 예제: 원 x² + y² = 25와 직선 y = x + 1이 있다. 원의 방정식의 y에 식 x + 1을 대입한다.

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

괄호를 제곱한다.

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

동류항을 정리하고 모두 좌변으로 옮긴다.

$$2x^2+2x-24=0$$

방정식 전체를 2로 나눈다.

$$x^2+x-12=0$$

판별식을 구한다.

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

판별식이 양수이므로 직선은 할선이다. 근은 다음과 같다.

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

즉 x₁ = 3, x₂ = −4이다. 아직 끝이 아니다. 구하는 것은 x좌표만이 아니라 점 전체이다. y좌표는 직선의 방정식 y = x + 1에서 얻는다. x = 3이면 y = 4이고 x = −4이면 y = −3이다. 따라서 직선은 원과 두 점 P(3, 4)와 Q(−4, −3)에서 만난다.

점 P로 확인하면 3² + 4² = 9 + 16 = 25이다. 맞으므로 이 점은 원 위에 있다.

두 번째 예제: 앞 절의 직선 3x − 4y = 25를 다시 보자. 이 직선이 접선이라는 것은 이미 알고 있으므로, 이제 접점을 찾으면 된다. 먼저 y에 대해 정리한다.

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

원의 방정식에 대입한다.

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

분수를 제곱한다. 분자와 분모를 각각 제곱한다.

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

분수를 없애려고 방정식 전체에 16을 곱한다.

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

동류항을 정리하고 모두 좌변으로 옮긴다.

$$25x^2-150x+225=0$$

25로 나눈다.

$$x^2-6x+9=0$$

판별식은 다음과 같다.

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

0이므로 직선은 접선이다. 이미 알던 사실이지만, 두 방법이 같은 결과에 이른다는 것을 보면 도움이 된다. 하나뿐인 근(중근)은 $x=\frac{6}{2}=3$이고, 이를 $y=\frac{3x-25}{4}$에 대입하면 $y=\frac{9-25}{4}=-4$이다. 접점은 T(3, −4)이다.

세 번째 예제: 직선 y = x + 10을 보자. x² + y² = 25에 대입하면 방정식 2x² + 20x + 75 = 0이 나오고, 판별식은 D = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200이다. 판별식이 음수이므로 방정식의 해가 없고, 따라서 직선은 원과 만나지 않는다.