Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Trong mặt phẳng, một đường thẳng và một đường tròn chỉ có thể ở ba vị trí. Đường thẳng hoặc cắt đường tròn tại hai điểm, khi đó ta gọi nó là cát tuyến. Hoặc chỉ tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất, đó là tiếp tuyến. Hoặc đi qua hoàn toàn bên ngoài, khi đó chúng không có điểm chung nào và ta nói đường thẳng không cắt đường tròn. Không có khả năng nào khác: đường thẳng không thể có ba điểm chung với đường tròn. Một ví dụ dễ hình dung về tiếp tuyến là bánh xe đứng trên mặt đường: bánh xe chỉ chạm mặt đường tại một điểm duy nhất.

Trên hình, đường thẳng p màu xanh dương là cát tuyến, đường thẳng t màu đỏ là tiếp tuyến, còn đường thẳng q màu xanh lá không cắt đường tròn. Các điểm chung được tô màu cam. Ba đường thẳng song song với nhau và chỉ khác nhau ở khoảng cách đến tâm O. Chính khoảng cách đó quyết định vị trí tương đối.

Dựa vào khoảng cách từ tâm

Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng là độ dài đường đi ngắn nhất từ tâm đến đường thẳng. Đường đi đó luôn vuông góc với đường thẳng: từ tâm ta hạ đường vuông góc xuống đường thẳng và đo đoạn thẳng từ tâm đến chân đường vuông góc. Đến bất kì điểm nào khác của đường thẳng, khoảng cách từ tâm đều lớn hơn, vì đoạn thẳng đó là cạnh huyền của một tam giác vuông, mà cạnh huyền dài hơn cạnh góc vuông. Trên hình, các đường vuông góc này vẽ bằng nét đứt màu xám, và góc vuông tại mỗi đường thẳng được đánh dấu bằng cung tròn có dấu chấm.

Kí hiệu khoảng cách này là d và so sánh với bán kính r:

• d < r: đường thẳng gần tâm hơn bán kính, nên đi vào trong đường tròn rồi đi ra ngoài. Đó là cát tuyến.
• d = r: đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường tròn. Đó là tiếp tuyến.
• d > r: đường thẳng cách tâm xa hơn bán kính. Đường thẳng không cắt đường tròn.

Với tiếp tuyến, đường vuông góc đi qua đúng tiếp điểm, vì vậy tiếp tuyến luôn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng tính theo công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. Với điểm O(m; n) và đường thẳng ax + by + c = 0, ta có:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Công thức đòi hỏi đường thẳng ở dạng tổng quát. Nếu đường thẳng cho dưới dạng như y = x + 1 thì trước hết phải biến đổi thành x − y + 1 = 0, nếu không sẽ thay sai số.

Ta thử công thức với đường tròn x² + y² = 25 và đường thẳng 3x − 4y − 25 = 0. Theo phương trình đường tròn, đường tròn có tâm tại gốc toạ độ O(0; 0) và bán kính $r=\sqrt{25}=5$. Từ phương trình đường thẳng ta đọc được a = 3, b = −4 và c = −25, rồi thay vào:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

Tính tiếp:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Kết quả là 5, đúng bằng bán kính, nên đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

Trên hình, khoảng cách d vẽ màu đỏ. Đường vuông góc hạ từ tâm có độ dài bằng bán kính, nên kết thúc đúng trên đường tròn, tại điểm T là tiếp điểm của đường thẳng với đường tròn.

Cách này nhanh và phù hợp khi chỉ cần biết vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Nhưng cách này không cho biết đường thẳng cắt hay tiếp xúc với đường tròn tại đâu. Muốn biết điều đó, ta phải tính toán.

Tìm các điểm chung

Điểm chung của đường thẳng và đường tròn phải thoả mãn đồng thời cả hai phương trình, nên ta giải một hệ phương trình, giống như khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: từ phương trình đường thẳng rút một ẩn rồi thế vào phương trình đường tròn. Ta được một phương trình bậc hai; phương trình có bao nhiêu nghiệm thì đường thẳng và đường tròn có bấy nhiêu điểm chung. Số nghiệm do biệt thức quyết định:

• Δ> 0: hai nghiệm, đường thẳng là cát tuyến,
• Δ= 0: một nghiệm (nghiệm kép), đường thẳng là tiếp tuyến,
• Δ< 0: vô nghiệm, đường thẳng không cắt đường tròn.

Ví dụ 1: Cho đường tròn x² + y² = 25 và đường thẳng y = x + 1. Thay y trong phương trình đường tròn bằng biểu thức x + 1:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Khai triển bình phương:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Thu gọn và chuyển tất cả sang vế trái:

$$2x^2+2x-24=0$$

Chia hai vế cho 2:

$$x^2+x-12=0$$

Tính biệt thức:

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Biệt thức dương, nên đường thẳng là cát tuyến. Các nghiệm là

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

tức là x₁ = 3 và x₂ = −4. Nhưng chưa xong: ta cần tìm cả điểm, không chỉ hoành độ của chúng. Tung độ tìm từ phương trình đường thẳng y = x + 1: với x = 3 thì y = 4, với x = −4 thì y = −3. Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm P(3; 4) và Q(−4; −3).

Thử lại với điểm P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Đúng, điểm này thuộc đường tròn.

Ví dụ 2: Lại xét đường thẳng 3x − 4y = 25 ở phần trước. Ta đã biết đường thẳng này là tiếp tuyến, nên bây giờ chỉ còn tìm tiếp điểm. Trước hết rút y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Thế vào phương trình đường tròn:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Bình phương phân thức, bình phương riêng tử và riêng mẫu:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Để khử mẫu, nhân hai vế với 16:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Thu gọn các hạng tử và chuyển sang vế trái:

$$25x^2-150x+225=0$$

Chia hai vế cho 25:

$$x^2-6x+9=0$$

Biệt thức:

$$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Biệt thức bằng 0, nên đường thẳng là tiếp tuyến. Điều này ta đã biết, nhưng cũng nên thấy rằng hai cách cho cùng một kết quả. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép) là $x=\frac{6}{2}=3$; thay vào $y=\frac{3x-25}{4}$ ta được $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Tiếp điểm là T(3; −4).

Ví dụ 3: Xét đường thẳng y = x + 10. Thế vào x² + y² = 25, ta được phương trình 2x² + 20x + 75 = 0 với biệt thức Δ= 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Biệt thức âm nghĩa là phương trình vô nghiệm, nên đường thẳng không cắt đường tròn.