Segitiga siku-siku

Segitiga siku-siku memiliki satu sudut dalam yang siku-siku, yaitu besarnya 90 derajat. Segitiga ini memiliki beberapa sifat menarik yang akan dibahas dalam artikel ini.

Unsur-unsur segitiga siku-siku

Segitiga siku-siku sudah sebagian dibahas dalam artikel utama tentang segitiga. Segitiga siku-siku memiliki satu sudut dalam yang besarnya 90 derajat. Kedua sudut dalam lainnya pasti kurang dari 90 derajat, karena jika tidak, jumlah sudut dalamnya tidak akan 180 derajat. Bahkan, jumlah kedua sudut lainnya tepat 90 derajat.

Segitiga siku-siku tentu memiliki tiga sisi. Dua di antaranya disebut sisi siku-siku (sisi merah), yaitu sisi-sisi yang lebih pendek, dan sisi ketiga disebut sisi miring atau hipotenusa (sisi biru), yaitu sisi yang paling panjang. Sisi miring selalu terletak di hadapan titik sudut yang siku-siku.

Teorema Pythagoras

Teorema matematika yang mungkin paling terkenal, yaitu teorema Pythagoras, berlaku khusus pada segitiga siku-siku. Teorema Pythagoras membahas panjang sisi-sisi segitiga. Teorema ini menyatakan bahwa “luas persegi pada sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi pada kedua sisi siku-sikunya”. Secara matematis, untuk segitiga kita yang sisi miringnya adalah sisi a:

$$a^2=b^2+c^2$$

Berikut teorema Pythagoras dalam gambar, kali ini dengan penamaan yang biasa, yaitu sisi miring c: Teorema ini dibahas dalam artikel tersendiri.

Luas segitiga siku-siku

Luas segitiga siku-siku sangat mudah dihitung, karena garis tingginya berimpit dengan sisi siku-siku. Bayangkan segitiga siku-siku pada gambar pertama. Bagaimana kita menghitung luasnya tanpa mengetahui garis tinggi apa pun? Segitiga dapat kita lengkapi menjadi persegi panjang. Dua sisi persegi panjang adalah sisi-sisi siku-siku segitiga, dan dua sisi lainnya kita tambahkan sehingga benar-benar terbentuk persegi panjang: Luas persegi panjang sudah bisa kita hitung, yaitu hasil kali panjang dua sisi yang bersebelahan, dalam hal ini hasil kali sisi merah AC dan AB. Dengan begitu, diperoleh luas persegi panjang. Namun, sisi miring BC adalah diagonal persegi panjang yang membagi persegi panjang menjadi dua bagian yang sama. Jadi, jika luas persegi panjang dibagi dua, diperoleh luas segitiga siku-siku. Rumusnya sebagai berikut:

$$L_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

dengan b dan c panjang sisi-sisi siku-siku.

Fungsi trigonometri sinus dan kosinus

Pada segitiga siku-siku dapat digunakan fungsi trigonometri dasar beserta hubungan-hubungannya. Fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, tangen, dan kotangen menyatakan perbandingan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku. Mari kita gunakan lagi segitiga pertama, kali ini dengan sudut-sudut yang ditandai.

Untuk mengetahui perbandingan panjang dua sisi, kita ambil kedua panjangnya, lalu kita bagi sesuai urutan yang disebutkan. Misalnya, perbandingan panjang sisi b:c (dibaca “b banding c”) diperoleh dengan membagi 3/5 (panjang sisi b adalah 3 dan sisi c adalah 5).

Fungsi sinus menghubungkan perbandingan dua sisi dengan satu sudut. Untuk gambar kita, berlaku: perbandingan sisi b:a adalah nilai sinus sudut β. Kosinus bekerja dengan cara serupa, hanya untuk perbandingan c:a dan sudut yang sama, β. Jadi, berlaku:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Pada segitiga siku-siku, fungsi sinus dan kosinus selalu digunakan hanya untuk sudut-sudut yang kurang dari 90 derajat, dalam hal ini sudut β dan γ. Untuk sudut-sudut ini, sinus dan kosinus selalu menghasilkan bilangan pada interval (0, 1). Karena itu, kamu dapat mengingat aturan bahwa sisi yang lebih pendek selalu dibagi dengan sisi yang lebih panjang, agar diperoleh bilangan pada interval (0, 1).

Kedua fungsi ini juga selalu menggunakan satu sisi siku-siku dan sisi miring, tidak pernah dua sisi siku-siku sekaligus. Karena sisi yang lebih pendek selalu dibagi dengan sisi yang lebih panjang, sisi miring selalu menjadi penyebut pecahan. Jika kamu perhatikan rumus di atas paragraf ini, penyebutnya selalu a, yaitu sisi miring segitiga.

Aturan terakhir: sinus menggunakan sisi depan, sedangkan kosinus menggunakan sisi samping. Apa artinya? Untuk sudut β, sisi samping adalah sisi siku-siku yang berpangkal di titik B, yaitu sisi c. Sisi depan adalah sisi siku-siku lainnya, yaitu sisi b. Karena itu, pada rumus sinus terdapat sisi b, dan pada rumus kosinus sisi c.

Ringkasnya: sinus adalah perbandingan sisi depan dengan sisi miring, sedangkan kosinus adalah perbandingan sisi samping dengan sisi miring. Bagaimana kita memanfaatkannya? Jika sudut-sudut segitiga dan panjang sisi miring atau salah satu sisi siku-siku diketahui, kita dapat menghitung panjang sisi-sisi lainnya. Contoh:

Pada segitiga sebelumnya berlaku:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Berapa panjang sisi a? Kita tahu bahwa:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

Nilai sinusnya diketahui, panjang sisi b juga diketahui, dan yang dicari adalah panjang sisi a. Kita isolasi a dengan operasi yang ekuivalen:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Pertama, kedua ruas persamaan kita kalikan dengan a, lalu kita bagi dengan sinus.) Di ruas kanan semua nilainya sudah diketahui, jadi kita substitusikan. Nilai sinus dihitung dengan kalkulator.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Panjang sisi a adalah 5,83. Jika kamu menghitung sinus dengan kalkulator, pastikan mode derajat sudah aktif. Masalah yang sering terjadi adalah kalkulator menghitung dalam radian, yaitu ukuran sudut yang lain. Hubungan konversinya adalah:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

dengan deg nilai sudut dalam derajat.

Fungsi trigonometri tangen dan kotangen

Kedua fungsi ini juga mudah digunakan pada segitiga siku-siku. Sekali lagi, kita selalu bekerja dengan sudut yang kurang dari 90 derajat. Namun, berbeda dengan sinus dan kosinus, kedua fungsi ini tidak menggunakan sisi miring, melainkan hanya sisi-sisi siku-siku. Tangen suatu sudut sama dengan perbandingan sisi depan dengan sisi samping, dan kotangen sama dengan perbandingan sisi samping dengan sisi depan.

Untuk segitiga sebelumnya, berlaku:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Mari kita hitung panjang sisi AC (sisi b) pada segitiga sebelumnya dengan bantuan sudut β. Besar sudutnya sudah diketahui dari contoh sebelumnya. Kita tahu bahwa:

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

Kita isolasi sisi b:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(Kedua ruas persamaan hanya kita kalikan dengan c, lalu kedua ruas kita tukar.) Sekarang semua yang diperlukan untuk menghitung panjang sisi b sudah diketahui. Kita substitusikan:

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Dari gambar pun terlihat bahwa hasilnya benar. Sekali lagi, hati-hati: dalam rumus ini, nilai di dalam tangen dinyatakan dalam derajat, sedangkan kalkulator mungkin meminta sudut dalam radian.

Sebagai ilustrasi, sisi yang sama dapat kita hitung dengan kotangen:

$$\begin{array}{rcl}\cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \cot (\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\cot (\beta )}\end{array}$$

Kita substitusikan nilainya:

$$b=\frac{5}{\cot (30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Hasilnya kembali benar.