Persamaan garis dalam ruang

Artikel-artikel sebelumnya membahas cara menyatakan garis pada bidang secara analitis. Dalam artikel ini kita akan melihat cara menyatakan garis di ruang secara analitis.

Persamaan parametrik garis dalam ruang

Pada persamaan parametrik garis pada bidang, sudah dijelaskan bahwa jika diketahui titik A yang dilalui garis p dan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, setiap titik X pada garis p dapat dinyatakan sebagai

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Bilangan t disebut parameter. Persamaan ini menghasilkan sistem persamaan yang sudah kita kenal:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Perhatikan gambar berikut:

Jika titik A dijumlahkan dengan suatu kelipatan t dari vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, diperoleh titik B. Begitu pula untuk setiap titik pada garis.

Gagasan ini juga dapat dipakai di ruang. Di ruang pun, garis p dapat ditentukan oleh titik A yang dilaluinya dan vektor arahnya $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Untuk setiap titik X pada garis ini berlaku

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Persamaannya sama persis. Bedanya hanya satu: kita berada di ruang, jadi titik X dan A memiliki tiga koordinat, bukan dua, dan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ juga memiliki tiga komponen. Persamaan ini menghasilkan sistem tiga persamaan, bukan dua:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

dengan x, y, z koordinat titik X(x, y, z) yang terletak di suatu tempat pada garis, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$ vektor arah, dan A(a₁, a₂, a₃) titik di ruang yang dilalui garis tersebut.