Vektor normal garis

Vektor normal garis p adalah vektor yang tegak lurus terhadap garis p. Komponennya diperoleh dari persamaan umum garis.

Motivasi

Diberikan garis p yang melalui titik A(0, 1), B(2, 5). Garis ini adalah grafik fungsi y = 2x + 1, jadi persamaan umum garisnya adalah −2x + y − 1 = 0. Gambar:

Persamaan umum garis berbentuk ax + by + c = 0. Untuk persamaan −2x + y − 1 = 0 berlaku a = −2, b = 1, c = −1. Apa makna geometris koefisien a, b? Iseng-iseng, mari kita gambar vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(a,b)$, yaitu vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-2,1)$:

Cukup jelas terlihat bahwa vektor ini tegak lurus terhadap garis p. Ini bukan kebetulan. Untuk persamaan umum garis ax + by + c = 0 mana pun, vektor (a, b) tegak lurus terhadap garis tersebut. Vektor seperti ini disebut vektor normal garis p.

Sifat-sifat vektor normal

Dari sifat hasil kali skalar kita tahu bahwa hasil kali skalar dua vektor sama dengan nol jika dan hanya jika kedua vektor saling tegak lurus. Karena vektor arah garis p sejajar dengan garis p, setiap vektor arah garis p tegak lurus terhadap vektor normal. Jika vektor arah kita hitung dari ruas garis $\overrightarrow{AB}$, diperoleh vektor

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=B-A=(2,5)-(0,1)=(2,4)$$

Pada gambar:

Jika kita bermain sedikit dengan hasil kali skalar dua vektor, yang (sebagai pengingat) didefinisikan sebagai

$$(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

ternyata untuk bilangan real a, b mana pun, hasil kali skalar vektor (a, b) dan (−b, a), serta vektor (a, b) dan (b, −a), selalu sama dengan nol:

$$\begin{array}{rcl}(a,b)\cdot (-b,a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a,b)\cdot (b,-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

Sekarang kembali ke garis p dengan persamaan umum ax + by + c = 0 dan vektor normal (a, b) yang tegak lurus terhadap garis tersebut. Tunggu dulu! Dari sifat tadi kita tahu bahwa hasil kali skalar vektor (−b, a) dan (b, −a) dengan vektor normal sama dengan nol. Jadi, vektor (−b, a) dan (b, −a) pasti tegak lurus terhadap vektor normal! Karena vektor normal tegak lurus terhadap garis, vektor yang tegak lurus terhadap vektor normal pasti sejajar dengan garis p semula! Keren, bukan?

Mari kita gambar vektor ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-b,a)$ dan ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(b,-a)$. Persamaan umum garisnya −2x + y − 1 = 0, jadi setelah disubstitusikan diperoleh vektor-vektor hijau ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-1,-2)$ dan ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(1,2)$:

Menentukan persamaan umum garis dari vektor normal dan sebuah titik

Kita sudah tahu bahwa persamaan umum garis cukup mudah diperoleh dari persamaan parametrik. Jika vektor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ diketahui, persamaan umum juga mudah ditentukan. Misalkan garis p melalui titik A(5, 13) dan vektor normalnya $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(4,-6)$. Persamaan umum garis p berbentuk ax + by + c = 0. Dari definisi vektor normal, koefisien a, b langsung dapat ditentukan, yaitu a = 4, b = −6, sama dengan komponen vektor normal. Persamaan umum garisnya berbentuk

$$4x-6y+c=0$$

Tinggal koefisien c yang perlu dihitung. Persamaan garis p ini harus benar untuk semua titik pada garis p. Artinya, jika koordinat titik pada garis p disubstitusikan untuk x, y, persamaannya harus benar. Jadi, cukup substitusikan titik A, yang pasti dilalui garis p. Titik A memiliki koordinat A(5, 13), jadi ke dalam persamaan 4x − 6y + c = 0 kita substitusikan x = 5, y = 13:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

Jadi, persamaan umum garis p adalah

$$4x-6y+58=0.$$

Dua vektor arah garis p adalah ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(6,4)$ dan ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(-6,-4)$.