Persamaan umum garis

Persamaan umum garis diperoleh dari persamaan parametrik garis dengan menghilangkan parameter t.

Motivasi

Masih ingat fungsi linear? Grafiknya berupa garis. Bentuk dasar fungsi linear adalah y = ax + b. Perhatikan garis p yang melalui titik A(0, 3), B(2, 7):

Kita tentukan fungsi linear yang grafiknya adalah garis p ini. Fungsi linear ini berbentuk y = ax + b. Karena garis melalui titik A(0, 3), nilai fungsi di x₁ = 0 adalah y₁ = 3. Jadi, harus berlaku persamaan a · 0 + b = 3. Karena garis melalui titik B(2, 7), nilai fungsi di x₂ = 2 adalah y₂ = 7, sehingga juga harus berlaku persamaan a · 2 + b = 7. Yang kita cari adalah koefisien a, b. Diperoleh sistem persamaan:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 0+b& =& 3\\ a\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

Dari persamaan pertama a · 0 + b = 3, koefisien b mudah diperoleh, yaitu b = 3. Hasil ini kita substitusikan ke persamaan kedua: dalam persamaan a · 2 + b = 7, kita ganti b dengan 3:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 2+b& =& 7\\ a\cdot 2+3& =& 7\\ a\cdot 2& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$

Kedua koefisien sudah diperoleh: a = 2, b = 3. Fungsi yang menggambarkan garis tadi adalah y = 2x + 3. Jika untuk x kita substitusikan x = 1, diperoleh y = 2 + 3 = 5, sesuai dengan grafik garis. Bentuk y = 2x + 3 masih dapat ditulis ulang sehingga ruas kanannya nol, yaitu dengan menambahkan −(2x + 3) pada kedua ruas persamaan. Diperoleh persamaan:

$$y-2x-3=0$$

Persamaan ini disebut persamaan umum garis.

Definisi persamaan umum garis

Cara tadi agak rumit dan tidak dapat dipakai jika garis sejajar dengan sumbu y, yaitu jika garisnya vertikal, karena garis seperti itu tidak menggambarkan fungsi apa pun. Karena itu, persamaan umum garis kita definisikan dengan cara lain. Setiap persamaan linear berbentuk

$$ax+by+c=0,$$

dengan a,b,c ∈ ℝ dan sedikitnya salah satu bilangan a,b ≠ 0, adalah persamaan garis pada bidang. Sebaliknya, setiap garis pada bidang dapat dinyatakan dalam bentuk ini. Persamaan ini disebut persamaan umum garis. Persamaan ini mudah diperoleh dari bentuk parametrik garis. Jika garis dinyatakan dengan persamaan parametrik

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

persamaan umumnya diperoleh dengan menghilangkan parameter t dari persamaan parametrik. Contoh: kita pakai lagi garis yang ditentukan oleh titik A(0, 3), B(2, 7). Kita tentukan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dari ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(2,7)-(0,3)=(2,4)$$

Berikut sekali lagi garis p dengan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

Kita tulis persamaan parametrik dengan titik A dan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Untuk memperoleh persamaan umum, kedua persamaan ini harus dijumlahkan sedemikian rupa sehingga parameter t hilang. Pertama, persamaan pertama kita kalikan dengan −2, sedangkan persamaan kedua tetap:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Sekarang kedua persamaan dijumlahkan sehingga diperoleh satu persamaan:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Inilah persamaan umum garis p. Hasilnya sama persis dengan persamaan yang diperoleh dengan cara sebelumnya.

Apa gunanya persamaan umum garis

Persamaan umum menentukan semua titik yang membentuk garis. Jika bilangan real yang disubstitusikan untuk x,y ke dalam persamaan umum ax + by + c = 0 membuat persamaan itu benar, titik (x, y) terletak pada garis tersebut. Kembali ke garis tadi dengan persamaan umum y − 2x − 3 = 0. Jika untuk x,y kita substitusikan nilai x = 1, y = 5, diperoleh persamaan:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Artinya, titik (1, 5) terletak pada garis. Jika kita coba substitusikan x = 2, y = 3, diperoleh persamaan:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Persamaan ini tidak benar, jadi titik (2, 3) tidak terletak pada garis p. Kita juga bisa memeriksanya pada gambar:

Garis vertikal

Kita sudah menyinggung bahwa persamaan umum garis vertikal p tidak dapat diperoleh dengan cara pada bagian pertama, karena garis vertikal tidak menggambarkan fungsi apa pun. Namun, garis seperti ini juga memiliki persamaan umum, yang dapat diperoleh dengan cara pada bagian sebelumnya.

Kita tunjukkan pada garis yang melalui titik A(4, 2), B(4, 8). Vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ adalah:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(4,8)-(4,2)=(0,6)$$

Gambar:

Persamaan parametrik dengan titik A dan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ adalah sebagai berikut:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Sekarang parameter t seharusnya dihilangkan. Namun, persamaan pertama sudah menghemat pekerjaan kita: di dalamnya tidak ada parameter t (atau lebih tepatnya, koefisiennya selalu nol). Jadi, seluruh persamaan ini dapat dipakai sebagai persamaan umum garis p. Persamaan umum garis p adalah

$$x-4=0$$

Jadi, koefisien a,b,c dalam persamaan ax + by + c = 0 adalah a = 1, b = 0, c = −4.

Garis horizontal

Berikut satu contoh lagi, yaitu garis horizontal yang melalui titik A(2, 1), B(5, 1). Vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ adalah:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(5,1)-(2,1)=(3,0)$$

Gambar:

Persamaan parametrik garis dengan titik A adalah sebagai berikut:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Sekali lagi terlihat bahwa parameter t tidak perlu dieliminasi, karena pada persamaan kedua koefisiennya nol. Jadi, persamaan kedua dapat langsung dipakai sebagai persamaan umum garis p:

$$y-1=0$$