Persamaan garis bentuk gradien

Persamaan garis bentuk gradien berkaitan dengan besar sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x.

Motivasi

Diberikan garis p dengan persamaan umum ax + by + c = 0. Kita tahu bahwa grafik fungsi linear berupa garis lurus. Fungsi linear biasanya ditulis dalam bentuk y = f(x). Jadi, kita mungkin ingin mengubah persamaan umum garis ax + by + c = 0 ke bentuk ini. Untuk itu diperlukan b ≠ 0, karena y harus diisolasi di satu ruas, artinya seluruh persamaan dibagi dengan b. Jika b ≠ 0, persamaan umum dapat diubah sebagai berikut:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ nyatakan }y\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Dengan begitu, kita memperoleh bentuk fungsi linear yang biasa. Karena bentuk ini cukup rumit, kita mengganti koefisiennya dengan menetapkan

$$\begin{array}{rcl}k& =& -\frac{a}{b}\\ q& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

sehingga persamaan tadi dapat ditulis dalam bentuk:

$$y=kx+q$$

Ini bukan bentuk yang lain. Kita hanya menulis q sebagai ganti pecahan $-\frac{c}{b}$ yang kurang enak dilihat, itu saja. Karena bentuk kx + q menggambarkan fungsi linear biasa, garis dalam bentuk ini tidak mungkin sejajar dengan sumbu y. Kemungkinan itu sudah kita singkirkan dengan syarat b ≠ 0.

Jika b = 0, garisnya sejajar dengan sumbu y dan persamaan umumnya berbentuk ax + c = 0. Jika persamaan ini dibagi dengan a dan disederhanakan, diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Karena pecahan $-\frac{c}{a}$ juga kurang enak dilihat, kita menggunakan substitusi $m=-\frac{c}{a}$, sehingga akhirnya diperoleh persamaan

$$x=m$$

Sebagai ringkasan, setiap garis yang tidak sejajar dengan sumbu y dapat ditulis dalam bentuk y = kx + q, dengan k, q ∈ ℝ, dan setiap garis yang sejajar dengan sumbu y dapat ditulis dalam bentuk x = m, dengan m ∈ ℝ.

Persamaan berbentuk y = kx + q disebut persamaan garis bentuk gradien, dan koefisien k disebut gradien (kemiringan) garis. Di buku sekolah Indonesia, bentuk ini biasanya ditulis y = mx + c: huruf m di sana sama dengan k di sini (gradien), dan c sama dengan q di sini (ordinat titik potong garis dengan sumbu Y). Di artikel ini kita tetap memakai k dan q.

Contoh soal

Diberikan garis yang melalui titik A(2, 8), B(8, 10). Tentukan persamaan garis bentuk gradiennya. Bentuk gradien paling mudah ditentukan dari persamaan umum garis, jadi persamaan umum itu kita susun lebih dahulu. Persamaan umum berbentuk ax + by + c = 0, dengan (a, b) vektor normal, jadi kita cari vektor normalnya. Vektor arah memiliki komponen (8, 10) − (2, 8) = (6, 2), sehingga vektor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ memiliki komponen (−2, 6). Jadi, ke dalam persamaan umum dapat disubstitusikan a = −2, b = 6:

$$-2x+6y+c=0$$

Untuk koordinat (x, y), kita substitusikan ke dalam persamaan sebuah titik yang pasti dilalui garis, misalnya titik B(8, 10). Jadi, kita substitusikan x = 8, y = 10:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Diperoleh persamaan umum

$$-2x+6y-44=0$$

Persamaan ini dapat dibagi dengan −2 sehingga bentuknya sedikit lebih rapi:

$$x-3y+22=0$$

Bentuk gradien diperoleh dengan menyatakan y. Semua suku lainnya kita pindahkan ke ruas kanan, lalu persamaannya kita bagi dengan tiga:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Baris terakhir adalah persamaan garis bentuk gradien. Jika ingin mengetahui koefisien k, q, kita tulis $k=\frac{1}{3},q=\frac{22}{3}$. Berikut grafik garis dengan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan vektor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$:

Seandainya koefisien q tidak bernilai serepot $\frac{22}{3}$, sekilas akan terlihat bahwa koefisien q menentukan koordinat y titik potong garis dengan sumbu y. Titik potong dengan sumbu y memiliki koordinat x nol, yaitu x = 0. Jika nilai ini disubstitusikan ke persamaan $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, diperoleh $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$. Jadi, untuk x = 0 nilai y adalah $y=\frac{22}{3}$.

Gradien garis

Jika persamaan garis berbentuk gradien y = kx + q, bilangan k disebut gradien garis. Gradien garis berkaitan dengan sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif. Perhatikan gambar berikut:

Gambar ini menunjukkan empat garis dengan gradien k yang berbeda, tetapi koefisien q = 2 yang sama. Jadi, semua garis berbentuk y = kx + 2. Perhatikan bahwa ketika nilai gradien, yaitu bilangan di depan variabel x, berubah sedikit demi sedikit, sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif juga berubah. Misalnya, garis ungu $y=\frac{1}{2}x+2$ membentuk sudut δ dengan sumbu tersebut, garis merah y = x + 2 membentuk sudut γ, dan garis hijau y = 2x + 2 membentuk sudut β.

Dalam kasus ini, makin besar gradiennya, makin besar pula sudut yang dibentuk garis dengan sumbu tersebut. Gradien garis ungu $y=\frac{1}{2}x+2$ adalah $k_1=\frac{1}{2}$, gradien garis hijau y = 2x + 2 adalah k₂ = 2, jadi k₁ < k₂. Selain itu, δ < β. Namun, gradien garis biru y = −2x + 2 adalah k₃ = −2, lebih kecil daripada semua gradien sebelumnya, tetapi sudut α adalah yang terbesar di antara semua sudut.

Terlihat bahwa gradien k memiliki hubungan dengan sudut. Mari kita selidiki lebih dekat. Kita tampilkan hanya garis ungu $y=\frac{1}{2}x+2$ dan kita perhatikan sudut δ. Pada garis kita pilih dua titik berbeda A, B, lalu kita bentuk segitiga siku-siku ABC seperti pada gambar. Sudut δ dan ϵ sama besar, karena keduanya adalah sudut sehadap.

Sekarang kita coba menyatakan sudut ϵ dengan ruas garis AC dan BC. Untuk itu, panjang kedua ruas garis harus diketahui. Misalkan koordinat titik A dan B adalah A = (x₁, y₁) = (2, 3) dan B = (x₂, y₂) = (6, 5). Panjang ruas garis AC sama dengan selisih |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Kita ambil koordinat x titik B, yang sama dengan koordinat x titik C, lalu kita kurangi dengan koordinat x titik A. Hasilnya adalah panjang ruas garis AC. Hal yang sama kita lakukan untuk ruas garis BC, hanya saja dengan koordinat y. Jadi, |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Selanjutnya kita gunakan fungsi trigonometri, yaitu tangen. Dalam segitiga siku-siku ABC, untuk sudut ϵ berlaku $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. Tangen sudut ϵ sama dengan perbandingan sisi siku-siku di depan sudut dan sisi siku-siku di samping sudut. Jika panjang ruas garis disubstitusikan, diperoleh:

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Tangen sudut ϵ, yang sama besar dengan sudut δ, ternyata $\frac{1}{2}$. Jadi, tangen sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif adalah $\frac{1}{2}$. Persamaan garis ini sendiri adalah $y=\frac{1}{2}x+2$. Artinya, tangen sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif sama dengan gradien garis tersebut! Ini bukan kebetulan dan berlaku secara umum:

Jika garis p memiliki persamaan bentuk gradien y = kx + q, gradien k sama dengan tangen sudut yang dibentuk garis p dengan sumbu x positif.