Phương trình đường thẳng trong không gian

Các bài trước xét phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng. Bài này trình bày cách viết phương trình đường thẳng trong không gian.

Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian

Ở bài phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng, ta đã thấy: nếu biết điểm A mà đường thẳng p đi qua và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ thì mọi điểm X của đường thẳng p đều có thể biểu diễn dưới dạng

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Số t gọi là tham số. Phương trình trên dẫn đến hệ phương trình quen thuộc

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Xem hình vẽ:

Cộng điểm A với tích của vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ với một số t nào đó, ta được điểm B. Mọi điểm khác của đường thẳng cũng nhận được theo cách đó.

Ý tưởng này cũng áp dụng được trong không gian. Trong không gian, ta cũng xác định đường thẳng p bằng một điểm A mà p đi qua và một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của p; khi đó mọi điểm X của đường thẳng này đều thoả mãn

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Ta được đúng phương trình như trước. Chỉ khác là ta đang ở trong không gian, nên các điểm X và A có ba toạ độ chứ không phải hai, và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ cũng có ba toạ độ. Phương trình khi đó dẫn đến hệ ba phương trình thay vì hai:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

trong đó x, y, z là toạ độ của điểm X(x; y; z) nằm ở đâu đó trên đường thẳng, $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2;u_3)$ là vectơ chỉ phương và A(a₁; a₂; a₃) là điểm trong không gian mà đường thẳng đi qua.