공간에서 직선의 방정식

앞의 글들에서는 평면 위의 직선을 식으로 나타내는 방법을 다루었다. 이 글에서는 공간에서 직선을 식으로 나타내는 방법을 알아본다.

공간에서 직선의 매개변수 표현

평면에서 직선의 매개변수 표현을 다룰 때, 직선 p가 지나는 점 A와 방향벡터 $\overrightarrow{u}$가 있으면 이 직선 p 위의 모든 점 X를 다음과 같이 나타낼 수 있다고 설명했다.

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

수 t를 매개변수라고 한다. 앞의 방정식에서 익숙한 연립방정식이 나온다.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

그림을 보자.

점 A에 방향벡터 $\overrightarrow{u}$의 어떤 t배를 더하면 점 B를 얻는다. 직선 위의 모든 점이 이와 같다.

이 생각은 공간에서도 그대로 쓸 수 있다. 공간에서도 직선 p는 그 직선이 지나는 점 A와 방향벡터 $\overrightarrow{u}$로 정할 수 있고, 그러면 이 직선 위의 모든 점 X에 대해 다음이 성립한다.

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

똑같은 방정식을 얻는다. 다만 공간에서 생각하므로 점 X와 A의 좌표는 두 개가 아니라 세 개이고, 방향벡터 $\overrightarrow{u}$도 성분이 세 개이다. 그래서 방정식에서 두 개가 아니라 세 개의 방정식으로 이루어진 연립방정식이 나온다.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

여기서 x, y, z는 직선 위 어딘가에 있는 점 X(x, y, z)의 좌표이고, $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$은 방향벡터이며, A(a₁, a₂, a₃)은 이 직선이 지나는 공간의 점이다.