Rata-rata geometri

Bayangkan kamu ingin membeli mobil baru, sebuah mobil sport impian. Sudah lama kamu mengincarnya, dan setiap tahun kamu mencatat berapa besar kenaikan harganya dibandingkan tahun sebelumnya. Pada tahun pertama, harga mobil itu Rp1 miliar. Pada tahun kedua, harganya langsung naik 25%, tahun berikutnya naik 5%, tahun keempat naik 10%, dan sekarang, pada tahun kelima, naik 20%. Harga mobil saat ini bisa kita hitung dengan mengubah persen menjadi faktor pengali harga, yaitu “naik 25%” kita tulis sebagai “harga awal dikali 1,25”. Jadi, harga mobil saat ini adalah

$$1.000.000.000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=1.732.500.000$$

Setelah lima tahun, harga mobil itu menjadi 1.732.500.000 rupiah. Sekarang kita bisa bertanya: berapa rata-rata kenaikan harga mobil per tahun? Pada kenaikan pertama, harganya menjadi 1,25 kali lipat, pada kenaikan kedua 1,05 kali lipat, dan seterusnya. Berapa rata-rata kenaikannya? Jika kita memakai rata-rata hitung biasa, hasilnya tidak masuk akal. Rata-rata hitung dari nilai-nilai 1,25, 1,05, 1,1, dan 1,2 adalah

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Sekarang coba kita hitung harga mobil jika harganya naik 1,15 kali lipat empat tahun berturut-turut:

$$1.000.000.000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=1.749.006.250$$

Hasilnya berbeda! Artinya, 1,15 (yaitu 15%) bukan jawaban yang benar: nilai itu bukan rata-rata kenaikan harga per tahun yang tepat. Jadi, rata-rata hitung tidak bisa menjawab pertanyaan ini. Kita harus memakai rata-rata geometri.

Cara menghitung rata-rata geometri

Berapa persen kenaikan harga mobil selama lima tahun itu? Kita hitung dengan mengalikan semua faktor kenaikan harganya:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Jadi, setelah empat kali kenaikan, harga mobil itu menjadi 1,7325 kali lipat. Sekarang pertanyaannya sebenarnya: bilangan berapa yang pangkat empatnya sama dengan 1,7325? Jawabannya adalah akar pangkat empat dari 1,7325. Mari kita coba:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Sekarang harga mobil kita kalikan empat kali dengan bilangan ini:

$$1.000.000.000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=1.732.500.000$$

Sekarang hasilnya cocok. Jadi, bilangan $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ adalah rata-rata kenaikan harga mobil per tahun yang benar.

Rumus rata-rata geometri

Jika kita mempunyai n bilangan x₁, x₂, …, x_n, rata-rata geometri G dihitung sebagai

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Rumus ini juga bisa ditulis secara ekuivalen seperti ini:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Sebagai contoh, rata-rata geometri bilangan 1, 2, 3, 4, 5 dihitung sebagai

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$