조화평균

조화평균은 평균의 한 종류로, 보통 어떤 비율을 다룰 때 쓴다.

평균 속력

예를 들어 기차를 타고 여행을 갔는데, 기차의 평균 속력이 120 km/h였다고 하자. 돌아올 때도 같은 길로 기차를 탔는데, 이번에는 기차가 느릿느릿 40 km/h로만 달렸다. 왕복 전체의 평균 속력은 얼마였을까? 다음과 같이 산술평균으로 평균 속력을 구하고 싶어진다.

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

그러면 평균 속력은 80 km/h이다. 하지만 이것은 틀렸다. 이는 쉽게 확인할 수 있다. 갈 때 기차가 한 시간 달렸다고 하자. 평균 속력 120 km/h로 달렸으므로 한 시간에 120 km를 갔다. 돌아올 때 평균 속력 40 km/h로 달렸다면 120 km를 가는 데 3시간이 걸렸을 것이다. 즉 기차는 모두 4시간 동안 240 km를 갔다. 여기서 평균 속력을 구할 수 있다.

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

산술평균으로는 올바른 답이 나오지 않았다. 두 속력 120과 40의 평균을 어떻게 구해야 올바른 결과가 나올까?

조화평균

산술평균 대신 조화평균을 쓸 수 있다. 조화평균은 분수를 만들어서 구하는데, 분자에는 평균을 구할 값의 개수를 넣는다. 이 경우에는 속력이 두 개이므로 2이다.

$$\frac{2}{?}$$

분모에는 두 속력의 역수의 합을 넣는다. 속력이 120이면 그 역수는 120⁻¹, 즉 $\frac{1}{120}$이다. 그러면 다음 분수를 얻는다.

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

분모의 분수를 통분한다.

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

이제 분수를 쉽게 더할 수 있다.

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

이 분수는 이상해 보이지만 걱정하지 말자. 잘 풀린다. 분수를 다음과 같이 곱의 꼴로 바꾼다.

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

이 변형이 헷갈린다면, 2분의 1로 나누는 것은 2를 곱하는 것과 같다는 것을 떠올리자. 즉 2를 분수 $\frac{4}{120}$로 나누는 것은 2에 역수 $\frac{120}{4}$을 곱하는 것과 같다. 이제 분수를 조금 정리하면 결과가 나온다.

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

조화평균은 60이고, 이것이 올바른 결과이다.

조화평균의 일반적인 공식

n개의 수 x₁, x₂, …, x_n이 있으면 조화평균 H는 다음과 같이 구한다.

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

시그마를 써서 나타내는 것을 좋아한다면 조화평균을 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

예를 들어 네 값 1, 2, 3, 4의 조화평균은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1.92\end{array}$$