Trung bình điều hoà

Trung bình điều hoà là một loại trung bình thường dùng khi ta làm việc với các tỉ số.

Tốc độ trung bình

Ví dụ, giả sử ta đi tàu hoả đến một nơi tham quan, tốc độ trung bình của tàu là 120 km/h. Lúc về ta lại đi tàu theo đúng tuyến đường đó, nhưng lần này tàu chạy chậm, chỉ 40 km/h. Tốc độ trung bình của tàu trên cả chặng đi và về là bao nhiêu? Ta dễ nghĩ ngay đến việc tính tốc độ trung bình bằng trung bình cộng như sau

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

và nói rằng tốc độ trung bình là 80 km/h. Nhưng điều đó không đúng. Có thể kiểm tra dễ dàng: giả sử lúc đi tàu chạy 1 giờ. Vì tàu chạy với tốc độ trung bình 120 km/h nên trong 1 giờ đó tàu đi được đúng 120 km. Nếu lúc về tàu chạy với tốc độ trung bình 40 km/h thì phải mất 3 giờ mới đi hết 120 km. Tổng cộng tàu đi 240 km trong 4 giờ. Từ đó tính được tốc độ trung bình

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

Vậy trung bình cộng đã cho kết quả sai. Phải tính trung bình của hai tốc độ 120 và 40 thế nào để được kết quả đúng?

Trung bình điều hoà

Thay cho trung bình cộng, ta có thể dùng trung bình điều hoà. Để tính, ta lập một phân số có tử số là số giá trị cần lấy trung bình, ở đây là 2, vì có hai tốc độ:

$$\frac{2}{?}$$

Mẫu số là tổng các số nghịch đảo của hai tốc độ. Với tốc độ 120, số nghịch đảo là 120⁻¹, tức là $\frac{1}{120}$. Ta được phân số

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Quy đồng mẫu số các phân số ở mẫu:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Bây giờ cộng các phân số rất dễ:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Phân số này trông hơi lạ, nhưng đừng lo, mọi việc sẽ ổn. Ta viết phân số này thành tích như sau:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Nếu bước biến đổi này làm bạn bối rối, hãy nhớ rằng chia cho một nửa cũng giống như nhân với 2. Vậy chia 2 cho phân số $\frac{4}{120}$ cũng giống như nhân 2 với phân số nghịch đảo $\frac{120}{4}$. Bây giờ chỉ cần rút gọn một chút là được kết quả:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Trung bình điều hoà bằng 60, đó là kết quả đúng.

Công thức tổng quát của trung bình điều hoà

Cho n số x₁, x₂, …, x_n. Trung bình điều hoà H của chúng tính theo công thức

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Nếu thích viết bằng kí hiệu tổng, có thể viết trung bình điều hoà như sau:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Ví dụ, trung bình điều hoà của 4 giá trị 1, 2, 3, 4 là

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$