Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras mungkin adalah teorema matematika yang paling terkenal. Tentang Pythagoras dari Samos sendiri, kamu dapat membaca di tempat lain. Sekarang mari kita fokus pada segitiga.

Luas persegi pada sisi segitiga

Teorema Pythagoras menyatakan hubungan yang berguna antara luas persegi-persegi yang dibuat pada sisi-sisi segitiga siku-siku. Bayangkan kita mempunyai segitiga siku-siku berikut:

Kertas berpetak di latar belakang menunjukkan ukuran segitiga. Panjang sisi siku-siku AC adalah 4, dan panjang sisi siku-siku BC adalah 3. Lalu, berapa panjang sisi AB, yaitu sisi miring segitiga? Sekilas, panjangnya tidak dapat diketahui. Namun, kita dapat mencoba menghitungnya.

Pertama, kita buat persegi pada sisi siku-siku BC. Artinya, kita buat persegi yang panjang semua sisinya sama dengan panjang sisi BC, yaitu tiga. Pada gambar, persegi itu terlihat seperti ini:

Terbentuklah persegi BCDE yang panjang semua sisinya 3. Berapa luas persegi ini? Luas persegi dihitung dengan mengalikan panjang dua sisinya, jadi luas persegi BCDE adalah 3 · 3 = 9. Sekarang kita gambar persegi pada sisi siku-siku yang lain, yaitu sisi AC. Panjang sisi persegi ini 4.

Luas persegi ini adalah 4 · 4 = 16. Sekarang kita gambar persegi terakhir, pada sisi miring AB:

Luas persegi baru ini belum kita ketahui, karena panjang sisi AB belum diketahui. Namun, sekarang teorema Pythagoras sangat berguna. Teorema ini menyatakan bahwa luas persegi terakhir, ABHI, sama dengan jumlah luas kedua persegi sebelumnya. Kedua persegi pertama luasnya 9 dan 16, jadi persegi terakhir — menurut teorema Pythagoras — luasnya 9 + 16 = 25. Kita tambahkan ke gambar:

Sekarang tinggal menjawab pertanyaan terakhir: jika luas persegi ABHI adalah 25, berapa panjang sisinya? Panjangnya harus akar kuadrat dari 25, jadi panjang sisi AB adalah $\sqrt{25}=5$. Jika kita periksa kembali dan menghitung luas persegi dengan panjang sisi 5, diperoleh luas 5 · 5 = 25. Sekarang kita bisa beralih ke angka dan definisi.

Definisi

Teorema Pythagoras berbunyi kira-kira seperti ini: “Luas persegi pada sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi pada kedua sisi siku-sikunya”. Secara matematis, teorema ini biasanya ditulis seperti ini

$$c^2=a^2+b^2,$$

dengan a dan b panjang sisi-sisi siku-siku segitiga dan c panjang sisi miring.

Jadi, apa yang dinyatakan teorema Pythagoras, dan bagaimana hubungan penulisan ini dengan gambar sebelumnya? Luas persegi pada sisi segitiga berarti kita ambil persegi yang panjang sisinya sama dengan panjang sisi segitiga tersebut, lalu kita hitung luasnya. Luas persegi dihitung dengan mengalikan panjang sisi dengan panjang sisi yang lain. Jadi, jika panjang sisinya c, luas L adalah: L = c · c, yang dengan bilangan berpangkat dapat ditulis sebagai L = c².

Jadi, penulisan c² = a² + b² dapat dibaca sebagai “luas persegi dengan panjang sisi c sama dengan jumlah luas persegi dengan panjang sisi a dan b”.

Sekali lagi perlu ditekankan bahwa teorema ini hanya berlaku pada segitiga siku-siku, bukan pada segitiga sembarang. Teorema Pythagoras biasanya digunakan jika panjang dua sisi diketahui dan panjang sisi ketiga perlu dihitung. Jika panjang kedua sisi siku-siku a dan b diketahui dan kita ingin mencari panjang sisi miring c, kita hitung luas persegi pada kedua sisi siku-siku, yaitu a² + b². Dengan begitu, diperoleh luas persegi pada sisi miring c, yaitu c². Untuk memperoleh panjang sisi c, luas yang sudah dihitung tinggal diakarkan. Diperoleh rumus:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

dengan c panjang sisi miring dan a, b panjang sisi-sisi siku-siku. Sebaliknya, jika panjang sisi miring dan salah satu sisi siku-siku diketahui dan kita ingin menghitung panjang sisi siku-siku yang lain, caranya sama, hanya saja salah satu sisi siku-siku harus diisolasi terlebih dahulu dalam persamaan. Jadi, jika c dan b diketahui dan kita ingin menghitung a, maka dalam persamaan

$$c^2=a^2+b^2,$$

kita isolasi a² dengan mengurangkan b²:

$$c^2-b^2=a^2,$$

lalu ruas kiri dan ruas kanan kita tukar:

$$a^2=c^2-b^2$$

dan terakhir kita tarik akarnya:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Contoh pertama

Misalkan diberikan segitiga ABC dengan panjang dua sisi yang diketahui: a = 3 dan b = 4. Ini adalah segitiga yang sama dengan segitiga di awal artikel. Pertanyaannya, berapa panjang sisi yang tersisa, yaitu sisi c? Mari kita hitung dengan rumus di atas. Segitiganya ditunjukkan pada gambar berikut:

Terlihat bahwa panjang kedua sisi siku-siku diketahui, dan yang belum diketahui adalah panjang sisi miring. Karena itu, kita gunakan rumus pertama yang belum diubah:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Kita substitusikan panjang sisi-sisinya untuk variabel a dan b:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

Dalam rumus ini terdapat kuadrat — sebagai pengingat, berlaku hubungan berikut:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Jadi, setelah kuadratnya dihitung, diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Hasilnya, panjang sisi c adalah lima.

Contoh kedua

Pada contoh ini, kita akan menghitung panjang salah satu sisi siku-siku jika panjang sisi siku-siku yang lain dan panjang sisi miring diketahui. Diberikan segitiga ABC dengan panjang sisi |AC| = 10 dan |BC| = 6. Segitiganya ditunjukkan pada gambar berikut:

Dari gambar terlihat bahwa sisi miring, yaitu sisi terpanjang, adalah sisi |AC|. Kita perlu menghitung panjang sisi |AB|. Kita gunakan rumus kedua untuk menghitung panjang sisi siku-siku:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Agar teorema Pythagoras digunakan dengan benar, kita harus menyadari arti setiap variabel. Dalam rumus ini, variabel a adalah panjang sisi yang ingin kita hitung, dalam hal ini sisi |AB|. Variabel c adalah panjang sisi miring, yaitu sisi terpanjang, dalam hal ini sisi |AC|. Variabel b adalah panjang sisi siku-siku yang sudah diketahui, dalam hal ini |BC|. Jadi, kita substitusikan ke rumus seperti ini:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

Kita substitusikan panjang sisi yang diketahui:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Kita hitung kuadratnya, lalu kurangkan:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Terakhir, kita tarik akarnya:

$$|AB|=8$$

Panjang sisi |AB| adalah delapan.

Soal cerita

Bayangkan kamu berjalan ke rumah temanmu melalui jalan yang lurus. Panjang jalan itu 250 meter. Setelah seperempat kilometer ini, kamu berbelok ke kiri dan berjalan 100 meter lagi, lalu kamu sampai di rumah temanmu. Pertanyaannya, berapa meter lebih pendek jalannya jika kamu berjalan lurus melintasi ladang?

Pertama, kita hitung panjang jalan jika kamu berjalan di jalan raya. Kamu berjalan 250 meter lurus, lalu 100 meter ke kiri. Totalnya 250 + 100 = 350 meter. Sekarang kita hitung panjang jalan melintasi ladang. Untuk itu, kita perlu gambar.

Satu petak pada gambar mewakili 50 meter. Seperti apa jalan langsung melintasi ladang? Jalan itu berupa ruas garis dari titik A ke titik C. Kita gambar ruas garis itu dengan warna merah.

Sekarang terlihat bahwa untuk menghitung panjang jalan melintasi ladang, kita cukup menerapkan teorema Pythagoras dengan tepat. Yang dicari adalah panjang sisi miring, dan panjang kedua sisi siku-siku diketahui, jadi kita gunakan rumus pertama seperti ini:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

Kita substitusikan panjangnya:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Kita kuadratkan:

$$|AC|=\sqrt{62.500+10.000}=\sqrt{72.500}$$

Kita tarik akarnya dan bulatkan:

$$|AC|=269$$

Panjang jalan melintasi ladang adalah 269 meter. Soalnya belum selesai, karena pertanyaannya adalah berapa meter jalan melintasi ladang lebih pendek. Jadi, kedua panjang kita kurangkan, dan selisihnya kita sebut r:

$$r=350-269=81$$

Jadi, jalannya kira-kira 81 meter lebih pendek.

Panjang sisi persegi

Berapa panjang sisi persegi yang panjang diagonalnya sepuluh? Bagaimana teorema Pythagoras membantu kita? Kita harus menemukan segitiga siku-siku di dalam persegi yang dapat digunakan untuk menghitung panjang sisi persegi. Sebagai pengingat: persegi memiliki empat sisi yang sama panjang. Mari kita gambarkan situasinya:

Terlihat bahwa di dalam persegi tiba-tiba muncul dua segitiga yang memiliki sudut siku-siku, dan keduanya dapat digunakan untuk menghitung panjang sisi. Kita ambil, misalnya, segitiga BCD. Sisi DB adalah sisi miring, sedangkan dua sisi lainnya adalah sisi siku-siku. Panjang sisi siku-sikunya belum diketahui, tetapi panjang sisi miringnya diketahui. Kedua sisi siku-siku ini sama panjang, yaitu |BC| = |CD|. Kita gunakan teorema Pythagoras dalam bentuk dasarnya:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Karena kedua sisi siku-siku sama panjang, cukup hitung kuadrat salah satu sisi siku-siku lalu kalikan dengan dua — kita tidak perlu menghitung kuadrat kedua sisi siku-siku, karena keduanya sama dan hasilnya pun akan sama. Jadi, kita dapat menuliskan:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

Panjang sisi BD, yaitu sisi miring, sudah diketahui, yaitu sepuluh. Kita substitusikan ke persamaan:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

Kita kuadratkan sepuluh:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

Kita bagi dengan dua:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

Kita sederhanakan pecahannya:

$$50=|BC{|}^2$$

Sekarang kita hampir selesai. Kita tahu bahwa kuadrat panjang sisi persegi sama dengan 50. Untuk mendapatkan panjang sisinya, kedua ruas persamaan masih harus diakarkan. Hal ini boleh dilakukan karena kita bekerja dengan bilangan positif:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

Akar kuadrat dari lima puluh kita biarkan dalam bentuk ini, sedangkan di ruas kanan persamaan, akar dan kuadrat saling menghilangkan.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Jika mau, kamu juga bisa menghitung akar dari lima puluh. Setelah dibulatkan, hasilnya tujuh:

$$7=|BC|$$

Jadi, panjang sisi persegi kira-kira tujuh, tepatnya akar kuadrat dari lima puluh.

Kalkulator

Sisi miring dapat dihitung dari kedua sisi siku-siku, dan sisi siku-siku dapat dihitung dari sisi miring dan sisi siku-siku yang lain. Satuan pada setiap kolom dapat kamu ganti.