Angolo

Se hai un angolo e vuoi copiarlo da un’altra parte, puoi usare il metodo del trasporto di un angolo.

Che cos’è un angolo

La definizione di angolo non è proprio semplice e ne esistono varie versioni. Per i nostri scopi, però, può bastare questa: un angolo è la parte di piano delimitata da due semirette che hanno l’origine in comune. In questa definizione è importante che l’angolo non sia formato soltanto dai due lati, ma da tutta la superficie, tutta la parte di piano compresa tra i due lati. Guarda la figura seguente:

La figura precedente però non era del tutto corretta, perché non abbiamo specificato di quale angolo parliamo. A prima vista, infatti, potremmo immaginare come angolo ABC la superficie appena descritta, ma allo stesso modo potremmo immaginare l’altra parte di piano:

Perciò, quando scriviamo gli angoli, dovremmo distinguere se intendiamo un angolo convesso (quello che misura meno di 180°) oppure un angolo non convesso (più di 180°). L’angolo non convesso si chiama anche angolo concavo. Questo si può scrivere, ad esempio, ricorrendo all’angolo orientato.

Un angolo può avere orientamento positivo oppure negativo. Con l’orientamento positivo si procede in senso antiorario, con quello negativo in senso orario. Quindi, quando scriviamo l’angolo ABC, per prima si nomina la semiretta BA e per seconda la semiretta BC. In verso positivo guardiamo la semiretta BA e proseguiamo in senso antiorario. Nel nostro esempio qui sopra otterremmo la prima figura, l’angolo convesso. Se scegliessimo il verso negativo, otterremmo l’angolo concavo, cioè la seconda figura. Di norma si considera il verso positivo, e anche in questo articolo gli angoli sono scritti in senso positivo.

Un angolo è dunque formato da due lati che lo delimitano, dal vertice da cui escono quelle semirette e dalla superficie che i lati dell’angolo delimitano. Se abbiamo l’angolo ABC, i lati dell’angolo sono BA e BC e il vertice è B.

Ampiezza di un angolo

Come possiamo misurare la lunghezza di un segmento, possiamo misurare anche l’ampiezza di un angolo. Si misura o nella consueta misura in gradi, che certamente conosci, oppure in radianti. La misura in gradi è semplice: 90° è un angolo retto (ad esempio gli angoli interni di un quadrato misurano ciascuno 90°), 180° è un angolo piatto (lo formano ad esempio due semirette opposte) e 360° è un angolo giro (lo formano semirette sovrapposte: un angolo così è formato da tutto il piano intorno). Il grado si divide poi in primi (si indicano con ′) e secondi (si indicano con ″). Un grado ha 60 primi e un primo ha sessanta secondi. 1° = 60′ e 1′ = 60″.

Figure dei singoli angoli:

La misura in radianti è già un po’ più difficile da immaginare, perché qui si usano i radianti, che sono adimensionali. La grandezza del radiante e le sue altre proprietà le ho però già descritte parlando delle funzioni goniometriche, quindi non mi ripeterò.

Gli angoli possono poi essere divisi, secondo l’ampiezza, in angolo acuto, che misura meno di 90°, e angolo ottuso, che misura tra 90° e 180°. Si tratta di una specie di sottoinsieme dell’angolo convesso, che ho mostrato sopra. Più di 180° misura l’angolo concavo, che non si divide ulteriormente.

Coppie di angoli

Alcune coppie particolari di angoli hanno proprietà diverse, che è bene conoscere.

• Angoli opposti al vertice sono angoli che hanno il vertice in comune e i cui lati formano semirette opposte. Gli angoli opposti al vertice sono sempre congruenti, hanno la stessa ampiezza.

• Angoli adiacenti sono angoli che hanno un lato in comune e gli altri lati sono semirette opposte. La somma di due angoli adiacenti è sempre uguale a 180°, cioè a un angolo piatto.

• Angoli corrispondenti sono angoli i cui primi lati sono paralleli e i secondi giacciono su una stessa retta. Deve valere anche che gli angoli abbiano lo stesso orientamento. Gli angoli corrispondenti sono congruenti.

Esistono ancora altri tipi di angoli, ma sono soltanto posizioni che si possono ricavare dalle tre sopra descritte.

Operazioni con gli angoli

Con gli angoli possiamo eseguire alcune operazioni elementari. La più semplice è l’addizione. Dal punto di vista numerico non c’è quasi nulla da sbagliare: basta sommare le ampiezze degli angoli. Se un angolo supera 360°, di solito lo si riduce a una forma più semplice, entro l’intervallo 0° − 360°. In breve, è come se lavorassi in un sistema di numerazione in base 360. Allo stesso modo, se in un esercizio hai primi o secondi, devi calcolare in base sessanta (come con i normali orologi).

Vediamo quindi, per sicurezza, un esempio svolto. Somma questi angoli: α = 183° 51′ e β = 222° 24′. Calcoliamo prima i primi: 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (il procedimento è semplice: dividi 75 per sessanta. Il quoziente dà il numero di gradi e il resto il numero di primi rimasti). Ora calcoliamo i gradi: 183° + 222° = 405°. A questo risultato parziale sommiamo il risultato precedente: 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Ora diminuiremo questo angolo di 360 finché non rientra nell’intervallo tra 0 e 360. Lo diminuiamo perché, se descriviamo un angolo di ampiezza 360°, siamo di nuovo al punto di partenza: un angolo di ampiezza 361° sulla carta avrà la stessa ampiezza di un angolo di ampiezza 1°. Arriviamo così a questo calcolo: 406° 15′ = 46° 15′.

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