Come disegnare un triangolo

Il triangolo è un poligono che ha esattamente tre lati. Questi lati si indicano con le lettere minuscole, di solito a, b, c. Il triangolo ha anche tre vertici, che si indicano con le lettere maiuscole, di solito A, B, C. Il lato a corrisponde quindi al segmento BC, il lato b al segmento AC e il lato c al segmento AB. Il lato a è sempre opposto al vertice A, e lo stesso vale per gli altri lati.

Conosciamo i tre lati

Se conosciamo le lunghezze di tutti e tre i lati, disegnare il triangolo è un gioco da ragazzi. Scegliamo uno dei lati, per esempio AB, e lo disegniamo come un normale segmento. Poi dobbiamo trovare dove si trova il terzo vertice. È facile: prendiamo il compasso, puntiamo in B e tracciamo una circonferenza con raggio uguale alla lunghezza del lato BC, per esempio cinque centimetri. In questo modo troviamo tutti i punti in cui potrebbe trovarsi C per trovarsi esattamente a cinque centimetri da B. Poi facciamo lo stesso con il lato AC e il punto A. Ora abbiamo due circonferenze e il loro punto di intersezione è un punto che si trova alla distanza data sia dal vertice A sia dal vertice B.

Conosciamo due lati e l’altezza

Ogni lato del triangolo ha la sua altezza, che si definisce come la perpendicolare condotta dal vertice opposto al lato scelto. Se la perpendicolare non incontra direttamente il lato, dobbiamo prolungare il lato fino al punto in cui incontra la perpendicolare. La proprietà fondamentale dell’altezza è quindi che è perpendicolare al lato a cui appartiene. Questo si sfrutta spesso nei problemi di calcolo, perché possiamo usare il teorema di Pitagora. L’altezza relativa al lato c si indica di solito con la lettera minuscola h e con un pedice che indica il lato a cui l’altezza appartiene. Nel nostro caso quindi h_c. Il piede della perpendicolare (il punto di intersezione del lato con la perpendicolare) si indica in modo simile, solo che al posto della h minuscola scriviamo la H maiuscola: H_c.

L’altezza l’abbiamo condotta dal vertice C. L’altro punto si trova sul lato opposto AB (cioè il lato c) e il segmento CH_c è perpendicolare al lato c. Il punto H_c si chiama piede dell’altezza; il lato c si chiama base. Il piede si indica di solito con la lettera H e con un pedice, dove mettiamo il vertice da cui parte l’altezza. In questo caso è il vertice C.

L’altezza si disegna abbastanza facilmente: prendi la riga e conduci dal lato c la perpendicolare in modo che passi proprio per il punto C. Ecco tutto.

L’altezza si può condurre da ogni vertice del triangolo. Tutte le altezze si incontrano poi in un punto che si chiama ortocentro. L’ortocentro può trovarsi all’interno del triangolo, ma non è detto. Nel caso di un triangolo acutangolo l’ortocentro si trova all’interno del triangolo.

Conosciamo due lati e la mediana

Oltre all’altezza, ogni triangolo ha anche tre mediane. La mediana è il segmento che collega un vertice con il punto medio del lato opposto. Tutte e tre le mediane si incontrano in un unico punto, che si chiama baricentro. Il baricentro divide poi ogni mediana in rapporto 2:1: il tratto di mediana che va dal vertice al baricentro è il doppio dell’altro tratto, quello dal baricentro al lato (e quindi l’altro è la metà). Le mediane si indicano con la lettera minuscola m e con il pedice del lato a cui appartengono. Il baricentro si indica di solito con una sola lettera maiuscola, G.

Se conosci due lati e la mediana relativa a uno di questi due lati, disegnare il triangolo è molto facile. Cominci di nuovo disegnando il lato AB e poi trovi dove si trova il punto C tracciando due circonferenze: la prima con centro in B (oppure in A, se conosci la lunghezza di AC) e la seconda con centro nel punto medio del lato AB. Il punto in cui le circonferenze si incontrano è il punto C cercato. Il procedimento è lo stesso del primo caso, quello dei tre lati; solo che, invece del triangolo ABC, disegni prima il triangolo M_cBC, dal quale ricavi il vertice C cercato.

Conosciamo due lati e un’altra mediana

Per prima cosa guarda lo schizzo di come dovrebbe più o meno venire:

Gli elementi evidenziati in rosso li conosciamo e, a partire da questi, dobbiamo disegnare tutto il triangolo. Il procedimento è il seguente: completiamo questo triangolo a un quadrilatero e, a partire dal quadrilatero, disegniamo il resto. Lo spiega chiaramente la figura seguente (ricordo che la lunghezza di BD è uguale al doppio della lunghezza di m_b).

Questo quadrilatero si disegna facilmente. Prima disegniamo il triangolo ABD. La lunghezza del lato AB la conosciamo, la lunghezza di BD è 2m_b e la lunghezza di AD è uguale a quella di BC. Il punto C lo troviamo o cercando il punto M_b, che è il punto medio del segmento BD, e poi tracciando la semiretta AM_b: la lunghezza di AC è 2AM_b. La seconda possibilità è disegnare la retta parallela al lato AB: il punto C si troverà su questa retta e sarà a distanza |AB| dal punto D.